Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.5.
6.5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é para calcular a transformada de Laplace da convolução entre duas funções:
e
. Então, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace. Precisamos lembrar como calcular a transformada de Laplace de cada função e depois multiplicar essas transformadas para achar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções envolvidas na convolução:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada uma dessas funções.
Para
:
Isso porque a transformada de Laplace de
é
, e aqui
.
Para
:
Aqui usamos a propriedade da transformada de Laplace para
, que desloca a variável
para
. No caso,
e
cuja transformada é
.
Passo 4
Agora que temos as transformadas de Laplace de
e
, vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:
Resposta
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Reduza ao
quadrante:
Dado
, obtenha as demais funções trigonométricas.
Reduza ao
quadrante:
Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.11.
6.11.