Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão . Estamos lidando com Transformadas de Laplace e convolução. Para isso, vamos precisar entender como a convolução funciona e como aplicá-la para encontrar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a convolução de duas funções e é definida por:
E, no mundo das Transformadas de Laplace, sabemos que:
Isso significa que, para encontrar a transformada inversa de um produto de transformadas de Laplace, podemos usar a convolução das funções correspondentes no domínio do tempo.
Passo 3
Observando a expressão que queremos inverter:
Podemos notar que isso é igual a:
Aqui, identificamos duas partes:
, que sabemos que é a transformada de .
, que é a transformada de .
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa de será a convolução das funções correspondentes:
Então, a função que queremos encontrar é:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Ao calcular os limites da integral, percebemos que os termos com se cancelam: