Define-se a convolução de duas funções e por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.11.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão . Estamos lidando com Transformadas de Laplace e convolução. Para isso, vamos precisar entender como a convolução funciona e como aplicá-la para encontrar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a convolução de duas funções e é definida por:
E, no mundo das Transformadas de Laplace, sabemos que:
Isso significa que, para encontrar a transformada inversa de um produto de transformadas de Laplace, podemos usar a convolução das funções correspondentes no domínio do tempo.

Passo 3

Observando a expressão que queremos inverter:
Podemos notar que isso é igual a:
Aqui, identificamos duas partes:
  1. , que sabemos que é a transformada de .
  2. , que é a transformada de .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa de será a convolução das funções correspondentes:
Então, a função que queremos encontrar é:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
Ao calcular os limites da integral, percebemos que os termos com se cancelam:

Resposta

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Reduza ao quadrante:
Define-se a convolução de duas funções e por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.5.
Resolva as equações:
Determine y nos seguintes casos: