Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.3.
6.3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções, especificamente
e
. Queremos usar o conteúdo de convolução e transformadas de Laplace para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como a convolução funciona e como a transformada de Laplace se relaciona com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução de
e
é dada por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica, integrando o produto delas ao longo do intervalo de 0 até
.
Passo 3
Agora, a transformada de Laplace da convolução de duas funções tem uma propriedade muito útil:
Ou seja, a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace individuais das funções.
Passo 4
Vamos aplicar isso para as funções dadas na questão:
e
. Primeiro, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma dessas funções.
A transformada de Laplace de
é:
Onde
é o fatorial de
.
Passo 5
Calculando as transformadas de Laplace:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, usando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:
Resposta
Então, a transformada de Laplace da convolução de
e
é:
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e a forma inversa do Teorema de Convolução
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6.4.
6.4.
Determine o seno e o cosseno de:
Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.8.
6.8.