Define-se a convolução de duas funções e por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções, especificamente e . Queremos usar o conteúdo de convolução e transformadas de Laplace para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como a convolução funciona e como a transformada de Laplace se relaciona com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução de e é dada por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica, integrando o produto delas ao longo do intervalo de 0 até .

Passo 3

Agora, a transformada de Laplace da convolução de duas funções tem uma propriedade muito útil:
Ou seja, a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace individuais das funções.

Passo 4

Vamos aplicar isso para as funções dadas na questão: e . Primeiro, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma dessas funções.
A transformada de Laplace de é:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

Calculando as transformadas de Laplace:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, usando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:

Resposta

Então, a transformada de Laplace da convolução de e é:

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Determine o seno e o cosseno de:
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e a forma inversa do Teorema de Convolução
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6.8.