Define-se a convolução de duas funções e por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a transformada inversa de Laplace da função . Pra resolver isso, vamos usar o conceito de convolução de duas funções. A convolução é uma forma de combinar duas funções para formar uma terceira, e no contexto das transformadas de Laplace, existem algumas propriedades que vão nos ajudar bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos transformar inversamente:
Podemos pensar nisso como o produto de duas funções no domínio de Laplace:
Isso é útil porque sabemos que a transformada de convolução de duas funções no tempo corresponde ao produto de suas transformadas de Laplace.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e , ou seja, encontrar e tais que:
Sabemos por tabela que:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a convolução de e , ou seja, . A definição da convolução é:
Substituindo e , temos:
Vamos fazer uma substituição simples: deixe , então . Quando , , e quando , . A integral fica:

Passo 5

Então, pela propriedade da convolução na transformada de Laplace:

Resposta

A transformada inversa é .

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Resolva:
6.3.
Uma viga de comprimento está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando .
Calcule o valor das expressões: