Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.8.
6.8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a transformada inversa de Laplace da função
. Pra resolver isso, vamos usar o conceito de convolução de duas funções. A convolução é uma forma de combinar duas funções para formar uma terceira, e no contexto das transformadas de Laplace, existem algumas propriedades que vão nos ajudar bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que queremos transformar inversamente:
Podemos pensar nisso como o produto de duas funções no domínio de Laplace:
Isso é útil porque sabemos que a transformada de convolução de duas funções no tempo corresponde ao produto de suas transformadas de Laplace.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de
e
, ou seja, encontrar
e
tais que:
Sabemos por tabela que:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a convolução de
e
, ou seja,
. A definição da convolução é:
Substituindo
e
, temos:
Vamos fazer uma substituição simples: deixe
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Passo 5
Então, pela propriedade da convolução na transformada de Laplace:
Resposta
A transformada inversa é
.
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Determine o seno e o cosseno de:
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e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.3.
6.3.
Uma viga de comprimento
está fixa em ambos os extremos (engastada). Nesse caso, a deflexão
satisfaz a equação e as condições iniciais
Encontre a deflexão da viga quando uma carga constante
está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento, isto é, quando
.
Calcule o valor das expressões: