Define-se o operador . Se opera sobre produz uma função escalar chamada de Laplaciano de , dada por . Mostre que o Laplaciano da função é zero, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace .
Funções que satisfazem a equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações fisicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o Laplaciano da função é igual a zero. O Laplaciano é um operador matemático que envolve as segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis , e . Então, basicamente, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e ver se a soma delas dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Laplaciano. Ele é definido como:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de em relação a cada uma das variáveis e depois somar tudo.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
De forma similar, vamos calcular as segundas derivadas em relação a e . Pelo mesmo raciocínio, teremos:
Passo 6
Agora, vamos somar essas três segundas derivadas para obter o Laplaciano:
Passo 7
Simplificando a soma:
Note que no segundo termo cancela com o denominador: