Define-se o operador . Se opera sobre produz uma função escalar chamada de Laplaciano de , dada por . Mostre que o Laplaciano da função é zero, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace .
Funções que satisfazem a equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações fisicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o Laplaciano da função é igual a zero. O Laplaciano é um operador matemático que envolve as segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis , e . Então, basicamente, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e ver se a soma delas dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Laplaciano. Ele é definido como:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de em relação a cada uma das variáveis e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

De forma similar, vamos calcular as segundas derivadas em relação a e . Pelo mesmo raciocínio, teremos:

Passo 6

Agora, vamos somar essas três segundas derivadas para obter o Laplaciano:

Passo 7

Simplificando a soma:
Note que no segundo termo cancela com o denominador:

Resposta

O Laplaciano da função é igual a zero, ou seja, .

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Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
b)
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
(e)
Verifique que as retas e são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.
Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
d)