Define-se o operador nabla^2=nabla cdot nabla=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2. Se nabla^2 opera sobre f(x, y, z) produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f, dada por partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2. Mostre que o Laplaciano da função f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-1 / 2 é zero, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace nabla^2=0.
Funções que satisfazem a equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações fisicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o Laplaciano da função é igual a zero. O Laplaciano é um operador matemático que envolve as segundas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis , e . Então, basicamente, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e ver se a soma delas dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Laplaciano. Ele é definido como:
nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de em relação a cada uma das variáveis e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 em relação a partial fpartial x = -12 (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 cdot 2x = -x (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x [ -x (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 ] em relação a partial^2 fpartial x^2 = -(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 :
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

De forma similar, vamos calcular as segundas derivadas em relação a partial^2 fpartial y^2 = -(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 e partial^2 fpartial z^2 = -(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 . Pelo mesmo raciocínio, teremos:

Passo 6

Agora, vamos somar essas três segundas derivadas para obter o Laplaciano:
nabla^2 f = (-(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2) + (-(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2) + (-(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2)

Passo 7

Simplificando a soma:
nabla^2 f = -3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3(x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 (x^2 + y^2 + z^2)
Note que nabla^2 f = -3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + 3(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 = 0 no segundo termo cancela com o denominador:

Resposta

O Laplaciano da função é igual a zero, ou seja, .

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