Verifique que as retas r: { x = 1 + t, y = 2 - t, z = 5 + t, t em R } e s: { x = -2 + 2t, y = -5 + 3t, z = 2 + 2t; t ∈ R } são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Além disso, vamos encontrar a equação do plano que é definido por essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas das duas retas:
Para verificar se as retas são concorrentes, precisamos encontrar se existe um ponto que satisfaz as duas equações, ou seja, se existe algum valor de e que tornam as coordenadas , e iguais para ambas as retas.

Passo 3

Vamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, igualamos as expressões de das equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Tudo confere! Portanto, as retas se cruzam no ponto correspondente a e .

Passo 4

Como encontramos um ponto comum às duas retas, isso confirma que elas são concorrentes, ou seja, se intersectam nesse ponto específico.
Agora, vamos determinar a equação do plano definido por essas duas retas. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano.
Sabemos que as retas fornecem dois vetores diretores:
Para a reta :
Para a reta :
O vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores diretores:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por 5:

Passo 6

Agora, vamos usar o ponto de interseção das retas como ponto conhecido no plano. Já determinamos que esse ponto corresponde a na reta :
Então, o ponto está no plano.
A equação geral do plano é dada por:
Onde é o vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos reescrever para deixar mais apresentável:

Resposta

A equação do plano definido pelas retas e é:

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