Verifique que as retas e são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as retas e são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Além disso, vamos encontrar a equação do plano que é definido por essas duas retas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas das duas retas:
Para verificar se as retas são concorrentes, precisamos encontrar se existe um ponto que satisfaz as duas equações, ou seja, se existe algum valor de e que tornam as coordenadas , e iguais para ambas as retas.
Passo 3
Vamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, igualamos as expressões de das equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Tudo confere! Portanto, as retas se cruzam no ponto correspondente a e .
Passo 4
Como encontramos um ponto comum às duas retas, isso confirma que elas são concorrentes, ou seja, se intersectam nesse ponto específico.
Agora, vamos determinar a equação do plano definido por essas duas retas. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano.
Sabemos que as retas fornecem dois vetores diretores:
Para a reta :
Para a reta :
O vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores diretores:
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial:
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por 5:
Passo 6
Agora, vamos usar o ponto de interseção das retas como ponto conhecido no plano. Já determinamos que esse ponto corresponde a na reta :