Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso faz parte do estudo de Campos Vetoriais na matemática. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo vetorial conservativo e como encontrar uma função potencial, se ele for conservativo.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função escalar chamada função potencial. Para verificar se é conservativo, vamos usar a regra das derivadas parciais cruzadas. Ou seja, vamos comparar as derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo :
(componente na direção )
(componente na direção )
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas parciais devem ser iguais, ou seja:
Mas temos:
Como não é igual a , concluímos que o campo não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo porque as derivadas parciais cruzadas não são iguais.