Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
b) F(x, y) = x^2 i + 5 x y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso faz parte do estudo de Campos Vetoriais na matemática. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo vetorial conservativo e como encontrar uma função potencial, se ele for conservativo.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função escalar chamada função potencial. Para verificar se é conservativo, vamos usar a regra das derivadas parciais cruzadas. Ou seja, vamos comparar as derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo :
  • (componente na direção )
  • (componente na direção )
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Para que o campo seja conservativo, essas duas derivadas parciais devem ser iguais, ou seja:
Mas temos:
Como não é igual a , concluímos que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque as derivadas parciais cruzadas não são iguais.

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