Define-se o produto diádico, ou produto tensorial, entre dois vetores a e b da seguinte forma em notações compacta e indicial:
S=a\otimesb \ S
Observa-se que o resultado desta operação é um tensor. Usando o produto diádico acima, prove a seguinte identidade vetorial (onde a, b e u são vetores):
S • u = a(b * u )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, a e b, e definimos o produto diádico (ou produto tensorial) entre eles como S = a ⊗ b. Nosso objetivo é provar que, quando multiplicamos esse tensor S por um terceiro vetor u, o resultado é o vetor a multiplicado pelo produto escalar de b e u, ou seja, S • u = a (b · u). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto diádico e o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o produto diádico. Quando fazemos S = a ⊗ b, estamos criando um tensor que, na prática, é uma matriz onde cada elemento S_{ij} é dado por a_i * b_j. Então, se a e b têm componentes a_1, a_2, a_3 e b_1, b_2, b_3, respectivamente, a matriz S fica assim:
S = a1 b1 & a1 b2 & a1 b3 a2 b1 & a2 b2 & a2 b3 a3 b1 & a3 b2 & a3 b3

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o tensor S pelo vetor u. Quando multiplicamos uma matriz por um vetor, cada componente resultante é a soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz pelos componentes do vetor u. Se u tem componentes u_1, u_2, u_3, então:

$$
S • u =
S u = a1 b1 & a1 b2 & a1 b3 a2 b1 & a2 b2 & a2 b3 a3 b1 & a3 b2 & a3 b3 u1 u2 u3 = a1 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3) a2 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3) a3 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3)

$$

Passo 4

Observamos que a expressão b_1 u_1 + b_2 u_2 + b_3 u_3 é exatamente o produto escalar entre b e u, ou seja, b · u. Então, podemos simplificar a expressão:

$$
S • u =
S u = a1 (b · u) a2 (b · u) a3 (b · u) = (b · u) a1 a2 a3 = a (b · u)

(b · u)

= a (b · u)
$$

Resposta

Portanto, mostramos que S • u = a (b · u), conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Usando notação indicial, mostre que o termo de variação advectiva da derivada material pode ser escrito como:
u cdot nabla u=(u cdot nabla) u
Usando notação indicial, mostre que se:
m+n+r=0
Onde m, n e r são vetores, então:
m times n=n times r=r times m
Para o seguinte campo de velocidade:
u1=2 x2^2
u2=3 x1
Calcule as componentes da derivada material deste campo que sejam normal e tangencial ao vetor velocidade respectivamente.
Para o seguinte campo de velocidade com transferência de calor:
x1=a t+b
x2=2 t
Calcule a variação lagrangeana do campo de temperatura T(x1, x2)