Define-se o produto diádico, ou produto tensorial, entre dois vetores a e b da seguinte forma em notações compacta e indicial:
S=a\otimesb \ S
Observa-se que o resultado desta operação é um tensor. Usando o produto diádico acima, prove a seguinte identidade vetorial (onde a, b e u são vetores):
S • u = a(b * u )
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, a e b, e definimos o produto diádico (ou produto tensorial) entre eles como S = a ⊗ b. Nosso objetivo é provar que, quando multiplicamos esse tensor S por um terceiro vetor u, o resultado é o vetor a multiplicado pelo produto escalar de b e u, ou seja, S • u = a (b · u). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto diádico e o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o produto diádico. Quando fazemos S = a ⊗ b, estamos criando um tensor que, na prática, é uma matriz onde cada elemento S_{ij} é dado por a_i * b_j. Então, se a e b têm componentes a_1, a_2, a_3 e b_1, b_2, b_3, respectivamente, a matriz S fica assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o tensor S pelo vetor u. Quando multiplicamos uma matriz por um vetor, cada componente resultante é a soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz pelos componentes do vetor u. Se u tem componentes u_1, u_2, u_3, então:
$$
S • u = S u = a1 b1 & a1 b2 & a1 b3 a2 b1 & a2 b2 & a2 b3 a3 b1 & a3 b2 & a3 b3 u1 u2 u3 = a1 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3) a2 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3) a3 (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3)
$$
Passo 4
Observamos que a expressão b_1 u_1 + b_2 u_2 + b_3 u_3 é exatamente o produto escalar entre b e u, ou seja, b · u. Então, podemos simplificar a expressão:
$$
S • u = S u = a1 (b · u) a2 (b · u) a3 (b · u) = (b · u) a1 a2 a3 = a (b · u)
(b · u)
= a (b · u)
$$
Resposta
Portanto, mostramos que S • u = a (b · u), conforme solicitado.