Define-se traço de uma matriz quadrada como sendo o número real
Assim, dada a matriz
prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o traço de é igual a 1. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente operações com matrizes e cálculo de traço. Para resolver isso, vamos precisar calcular e depois somar os elementos da diagonal principal dessa matriz resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, precisamos fazer o produto linha por coluna. A matriz que temos é:
Como queremos , ou seja, , vamos fazer essa multiplicação.
Passo 3
Multiplicando por ela mesma:
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
Primeiro elemento (1,1):
Segundo elemento (1,2):
Terceiro elemento (2,1):
Quarto elemento (2,2):
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora que temos , vamos calcular o traço dela. O traço é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, .
Passo 5
Lembrando da identidade trigonométrica fundamental: