Define-se traço de uma matriz quadrada como sendo o número real
Assim, dada a matriz
prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o traço de é igual a 1. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente operações com matrizes e cálculo de traço. Para resolver isso, vamos precisar calcular e depois somar os elementos da diagonal principal dessa matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, precisamos fazer o produto linha por coluna. A matriz que temos é:
Como queremos , ou seja, , vamos fazer essa multiplicação.

Passo 3

Multiplicando por ela mesma:
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Segundo elemento (1,2):
  • Terceiro elemento (2,1):
  • Quarto elemento (2,2):
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o traço dela. O traço é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, .

Passo 5

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
Portanto,

Resposta

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pelo método de Gauss-Jordon
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Resolva o seguinte sistema linear.
Seja . Prove que é ortogonal. Conclua que .