Define-se traço de uma matriz quadrada
como sendo o número real
Assim, dada a matriz
prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o traço de
é igual a 1. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente operações com matrizes e cálculo de traço. Para resolver isso, vamos precisar calcular
e depois somar os elementos da diagonal principal dessa matriz resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, precisamos fazer o produto linha por coluna. A matriz
que temos é:
Como queremos
, ou seja,
, vamos fazer essa multiplicação.
Passo 3
Multiplicando
por ela mesma:
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
- Primeiro elemento (1,1):
- Segundo elemento (1,2):
- Terceiro elemento (2,1):
- Quarto elemento (2,2):
Então, a matriz
fica:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o traço dela. O traço é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja,
.
Passo 5
Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
Portanto,