Define-se traço de uma matriz quadrada A=(ai j) como sendo o número real
tr(A)=a11+a22+cdots+ann
Assim, dada a matriz
M=[cc cos theta & 0 0 & sen theta ]
prove que tr(M^2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o traço de é igual a 1. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente operações com matrizes e cálculo de traço. Para resolver isso, vamos precisar calcular e depois somar os elementos da diagonal principal dessa matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, precisamos fazer o produto linha por coluna. A matriz M = cos theta & 0 0 & sin theta que temos é:
Como queremos , ou seja, , vamos fazer essa multiplicação.

Passo 3

Multiplicando M^2 = M times M = cos theta & 0 0 & sin theta cos theta & 0 0 & sin theta por ela mesma:
M^2 = cos^2 theta & 0 0 & sin^2 theta
Vamos calcular cada elemento da nova matriz:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Segundo elemento (1,2):
  • Terceiro elemento (2,1):
  • Quarto elemento (2,2):
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o traço dela. O traço é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, .

Passo 5

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Portanto,
tr(M^2) = 1

Resposta

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