Resolva o seguinte sistema linear:
l 2 x-2 y-4 z=2 2 x+3 y+z=-3 4 x+y+6 z=8
pelo método de Gauss-Jordon

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
l 2x - 2y - 4z = 2 2x + 3y + z = -3 4x + y + 6z = 8
O método de Gauss-Jordan vai nos ajudar a simplificar essas equações para encontrar os valores de , e . Vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis passo a passo até chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e as constantes:
2 & -2 & -4 & | & 2 2 & 3 & 1 & | & -3 4 & 1 & 6 & | & 8
A ideia aqui é usar operações de linha para simplificar essa matriz.

Passo 3

Vamos começar zerando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Para a segunda linha:
2 - 2 = 0 3 - (-2) = 5 1 - (-4) = 5 -3 - 2 = -5
4 - 2 times 2 = 0 1 - 2 times (-2) = 5 6 - 2 times (-4) = 14 8 - 2 times 2 = 4
Então, a segunda linha fica: 2 & -2 & -4 & | & 2 0 & 5 & 5 & | & -5 0 & 5 & 14 & | & 4
Para a terceira linha:
Então, a terceira linha fica:
A matriz agora é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 5, para facilitar os cálculos:
0x + 5y5 + 5z5 = -55 Rightarrow 0x + y + z = -1
Então, a segunda linha fica: 2 & -2 & -4 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & -1 0 & 5 & 14 & | & 4
A matriz atualizada:

Passo 5

Vamos agora zerar o 0 - 0 = 0 5 - 5 times 1 = 0 14 - 5 times 1 = 9 4 - 5 times (-1) = 9 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, subtraímos 5 vezes a segunda linha da terceira:
2 & -2 & -4 & | & 2 0 & 1 & 1 & | & -1 0 & 0 & 9 & | & 9
Então, a terceira linha fica:
A matriz agora é:

Passo 6

Agora, podemos resolver para 9z = 9 Rightarrow z = 1 diretamente da terceira linha:

Passo 7

Com y + z = -1 y + 1 = -1 Rightarrow y = -2 , vamos substituir esse valor na segunda linha para encontrar :

Passo 8

Agora que temos 2x - 2y - 4z = 2 2x - 2(-2) - 4(1) = 2 2x + 4 - 4 = 2 2x = 2 Rightarrow x = 1 e , substituímos esses valores na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = -2, z = 1

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