Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y: y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas e (que é o eixo ) formam uma espécie de área entre e . Quando giramos essa área em torno do eixo , cada “fatia” vertical dessa área vira uma casca cilíndrica.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Aqui, é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo ), e é a altura da casca, que é a diferença entre as funções que limitam a região.

Passo 4

Vamos identificar . Como a região está limitada por e , a altura é simplesmente .
Agora, substituímos na fórmula:

Resposta

Calculando a integral:
Então, o volume é unidades cúbicas.

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