Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas
e
(que é o eixo
) formam uma espécie de área entre
e
. Quando giramos essa área em torno do eixo
, cada “fatia” vertical dessa área vira uma casca cilíndrica.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Aqui,
é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura da casca, que é a diferença entre as funções que limitam a região.
Passo 4
Vamos identificar
. Como a região está limitada por
e
, a altura
é simplesmente
.
Agora, substituímos na fórmula:
Resposta
Calculando a integral:
Então, o volume é
unidades cúbicas.