Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
Comparando com as funções trigonométricas, defina a tangente hiberbólica tanh adequadamente, e calcule a sua derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para definirmos a tangente hiperbólica, que a gente costuma chamar de
, comparando com as funções trigonométricas. Além disso, precisamos calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos de funções hiperbólicas e as regras de derivação que aprendemos em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico (
), que já foram dadas no enunciado:
Essas funções são análogas às funções trigonométricas seno e cosseno, mas definidas em termos de exponenciais.
Passo 3
A tangente hiperbólica (
) é definida de forma similar à tangente trigonométrica, ou seja, como o quociente entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico. Assim, temos:
Substituindo as expressões de e
, ficamos com:
Passo 4
Agora que temos a definição de
, vamos calcular sua derivada. Para isso, vamos usar a regra da derivada do quociente. Se temos uma função
, sua derivada é:
Passo 5
Aplicando essa regra à nossa função
, identificamos:
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 7
Então, temos:
Sabendo que
, podemos reescrever:
Além disso, sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da tangente hiperbólica é
.