Definem-se as funções seno hiperbólico (senh) e cosseno hiperbólico (cosh) pondo
senh(x) = (e^x - e^-x) / 2 cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2
Comparando com as funções trigonométricas, defina a tangente hiberbólica tanh adequadamente, e calcule a sua derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para definirmos a tangente hiperbólica, que a gente costuma chamar de , comparando com as funções trigonométricas. Além disso, precisamos calcular a derivada dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos de funções hiperbólicas e as regras de derivação que aprendemos em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico ( ), que já foram dadas no enunciado:
Essas funções são análogas às funções trigonométricas seno e cosseno, mas definidas em termos de exponenciais.

Passo 3

A tangente hiperbólica ( ) é definida de forma similar à tangente trigonométrica, ou seja, como o quociente entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico. Assim, temos:
Substituindo as expressões de e , ficamos com:

Passo 4

Agora que temos a definição de tanh x, vamos calcular sua derivada. Para isso, vamos usar a regra da derivada do quociente. Se temos uma função , sua derivada é:

Passo 5

Aplicando essa regra à nossa função , identificamos:
Vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x):

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 7

Então, temos:
Sabendo que , podemos reescrever:
Além disso, sabemos que , então:

Resposta

A derivada da tangente hiperbólica é .

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