Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas: x = 2 - raiz(y), x = 0, y = 0 em torno de eixo y.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido. Esse sólido é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva pode ser reescrita para encontrar em função de :
Assim, a região está entre e , e varia de 0 até o valor onde se torna 0, ou seja, quando .

Passo 3

Usando o método dos discos, vamos integrar em relação a porque estamos girando em torno do eixo . A fórmula para o volume é:
Aqui, é o raio do disco em cada valor de . No nosso caso, .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como varia de 0 até 4, os limites são de até .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos:
Vamos expandir o termo ao quadrado:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando termo a termo:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:

Passo 9

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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