Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas: em torno de eixo .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido. Esse sólido é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A curva pode ser reescrita para encontrar em função de :
Assim, a região está entre e , e varia de 0 até o valor onde se torna 0, ou seja, quando .
Passo 3
Usando o método dos discos, vamos integrar em relação a porque estamos girando em torno do eixo . A fórmula para o volume é:
Aqui, é o raio do disco em cada valor de . No nosso caso, .
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como varia de 0 até 4, os limites são de até .