se a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é descontínua em a dado. Esboce o gráfico das funções.
f(x) = { e^x, se x < 0; x^2, se x ≥ 0 }, a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
Queremos mostrar que essa função é descontínua em usando a definição de continuidade e propriedades de limites. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade, calcular os limites laterais e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função em .
Como , usamos a segunda parte da função:
Então, . A primeira condição da continuidade está satisfeita porque está definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda ( ).
Para , a função é . Então:
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela direita ( ).
Para , a função é . Então:
Então, o limite pela direita é .

Passo 6

Agora, vamos verificar se o limite geral existe. Para isso, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Aqui temos:
Como , o limite geral não existe.

Passo 7

Por fim, vamos comparar o limite geral com .
Já vimos que:
ã
Como o limite não existe, a função não satisfaz a segunda e terceira condições da continuidade em . Portanto, é descontínua em .

Resposta

A função é descontínua em porque os limites laterais em são diferentes e não coincidem com o valor da função nesse ponto.

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