se a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é descontínua em
dado. Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
Queremos mostrar que essa função é descontínua em
usando a definição de continuidade e propriedades de limites. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade, calcular os limites laterais e comparar com o valor da função em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função em
.
Como
, usamos a segunda parte da função:
Então,
. A primeira condição da continuidade está satisfeita porque
está definida.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda (
).
Para
, a função é
. Então:
Então, o limite pela esquerda é
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
pela direita (
).
Para
, a função é
. Então:
Então, o limite pela direita é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se o limite geral existe. Para isso, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Aqui temos:
Como
, o limite geral
não existe.
Passo 7
Por fim, vamos comparar o limite geral com
.
Já vimos que:
Como o limite não existe, a função não satisfaz a segunda e terceira condições da continuidade em
. Portanto,
é descontínua em
.
Resposta
A função
é descontínua em
porque os limites laterais em
são diferentes e não coincidem com o valor da função nesse ponto.