Fazendo:
c1(1,2,-1)+c2(1,-2,1)+c3(-3,2,-1)+c4(2,0,0)=(0,0,0)
l c1+c2-3 c3+2 c4=0 2 c1-2 c2+2 c3=0 -c1+c2-c3=0
(ccccc1 & 1 & -3 & 2 & 0 2 & -2 & 2 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 & 0 & 0) sim(ccccc1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & -4 & 8 & -4 & 0 0 & 2 & -4 & 2 & 0) sim(ccccc1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & -4 & 8 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0)
Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números C1, C2, C3, C4, não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma combinação linear de quatro vetores em e nos pede para determinar se esses vetores são linearmente dependentes. Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para encontrar os coeficientes que satisfazem a combinação igual a zero. Se conseguirmos encontrar uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos não seja zero), isso mostrará que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dada:
c1(1,2,-1) + c2(1,-2,1) + c3(-3,2,-1) + c4(2,0,0) = (0,0,0)
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
c1 + c2 - 3c3 + 2c4 = 0 2c1 - 2c2 + 2c3 = 0 -c1 + c2 - c3 = 0

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar as operações:
[cccc|c 1 & 1 & -3 & 2 & 0 2 & -2 & 2 & 0 & 0 -1 & 1 & -1 & 0 & 0 ]

Passo 4

Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar soluções. Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 2R1 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & -4 & 8 & -4 & 0 -1 & 1 & -1 & 0 & 0 ] das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 5

Em seguida, adicionamos a primeira linha à terceira linha para eliminar o R3 = R3 + R1 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & -4 & 8 & -4 & 0 0 & 2 & -4 & 2 & 0 ] :

Passo 6

Agora, vamos simplificar ainda mais a segunda e terceira linhas. Podemos dividir a segunda linha por R2 = R2-4 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & -4 & 2 & 0 ] para facilitar:

Passo 7

Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o R3 = R3 - 2R2 Rightarrow [cccc|c 1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ] :

Passo 8

Observamos que a terceira linha resultou em uma equação , o que indica que o sistema possui infinitas soluções. Isso significa que existem múltiplas combinações de que satisfazem a equação original sem que todos os coeficientes sejam zero simultaneamente.
Esse fato confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores apresentados são linearmente dependentes, pois o sistema possui infinitas soluções não triviais.

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