Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma combinação linear de quatro vetores em e nos pede para determinar se esses vetores são linearmente dependentes. Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para encontrar os coeficientes que satisfazem a combinação igual a zero. Se conseguirmos encontrar uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos não seja zero), isso mostrará que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dada:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar as operações:
Passo 4
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar soluções. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 5
Em seguida, adicionamos a primeira linha à terceira linha para eliminar o :
Passo 6
Agora, vamos simplificar ainda mais a segunda e terceira linhas. Podemos dividir a segunda linha por para facilitar:
Passo 7
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o :
Passo 8
Observamos que a terceira linha resultou em uma equação , o que indica que o sistema possui infinitas soluções. Isso significa que existem múltiplas combinações de que satisfazem a equação original sem que todos os coeficientes sejam zero simultaneamente.
Esse fato confirma que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores apresentados são linearmente dependentes, pois o sistema possui infinitas soluções não triviais.