Fazendo:

Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma combinação linear de quatro vetores em e nos pede para determinar se esses vetores são linearmente dependentes. Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver para encontrar os coeficientes que satisfazem a combinação igual a zero. Se conseguirmos encontrar uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos não seja zero), isso mostrará que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dada:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar as operações:

Passo 4

Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar soluções. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 5

Em seguida, adicionamos a primeira linha à terceira linha para eliminar o :

Passo 6

Agora, vamos simplificar ainda mais a segunda e terceira linhas. Podemos dividir a segunda linha por para facilitar:

Passo 7

Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o :

Passo 8

Observamos que a terceira linha resultou em uma equação , o que indica que o sistema possui infinitas soluções. Isso significa que existem múltiplas combinações de que satisfazem a equação original sem que todos os coeficientes sejam zero simultaneamente.
Esse fato confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores apresentados são linearmente dependentes, pois o sistema possui infinitas soluções não triviais.

Exercícios relacionados

Definição: Os elementos em um espaço vetorial são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes , nem todas nulas, tais que:
caso contrário , e e2, e são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
Definição: Os elementos de geram se todo elemento em for um combinação linear de , eз, …, , ou ainda, se dizemos que gera , ou que é gerado por ( ).
Fazendo:

Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!
S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores e , esse sistema tem sempre solução.
. Depois de encontrar bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.