Fazendo:
c1(x^2+3 x-1)+C2(x^2+2 x+5)+C3(x^2+7 x-1)=0 x^2+0 x+0 l c1+c2+c3=0 3 c1+2 c2+7 c3=0 -c1+5 c2-c3=0
(cccc1 & 1 & 1 & 0 3 & 2 & 7 & 0 -1 & 5 & -1 & 0) sim(cccc1 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 0 & 6 & 0 & 0) sim(cccc1 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & 4 & 0 0 & 0 & 24 & 0) 24 c3=0 c3=0 c2=0 c1=0
Assim, o conjunto é LI (para que os elementos se anulem, todos os números c1, c2 e c3 têm que ser iguais a zero!

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto de polinômios é linearmente independente. A gente tem três polinômios:
P1(x) &= x^2 + 3x - 1 P2(x) &= x^2 + 2x + 5 P3(x) &= x^2 + 7x - 1
Para isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e sistemas de equações. Precisamos descobrir se existe uma combinação desses polinômios que dê zero apenas quando todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação geral da combinação linear igual a zero:
c1P1(x) + c2P2(x) + c3P3(x) = 0
Substituindo os polinômios:
c1(x^2 + 3x - 1) + c2(x^2 + 2x + 5) + c3(x^2 + 7x - 1) = 0

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
c1x^2 + 3c1x - c1 + c2x^2 + 2c2x + 5c2 + c3x^2 + 7c3x - c3 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(c1 + c2 + c3)x^2 + (3c1 + 2c2 + 7c3)x + (-c1 + 5c2 - c3) = 0

Passo 4

Para essa igualdade ser verdadeira para todo c1 + c2 + c3 = 0 3c1 + 2c2 + 7c3 = 0 -c1 + 5c2 - c3 = 0 , os coeficientes de , e o termo independente devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos representar esse sistema na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 0 3 & 2 & 7 & | & 0 -1 & 5 & -1 & | & 0
Usaremos a eliminação de Gauss para resolver o sistema.

Passo 6

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
  • 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & 4 & | & 0 0 & 6 & 0 & | & 0 :
    , , ,
  • :
    , , ,
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (-1 na posição (2,2)):
  • 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & 4 & | & 0 0 & 0 & 24 & | & 0 :
    , , ,
A matriz fica:

Passo 8

Agora, podemos resolver o sistema de trás para frente:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:

Resposta

Todos os coeficientes e são iguais a zero. Portanto, o conjunto de polinômios é linearmente independente.

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