Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto de polinômios é linearmente independente. A gente tem três polinômios:
Para isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e sistemas de equações. Precisamos descobrir se existe uma combinação desses polinômios que dê zero apenas quando todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação geral da combinação linear igual a zero:
Substituindo os polinômios:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo independente devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos representar esse sistema na forma de matriz aumentada:
Usaremos a eliminação de Gauss para resolver o sistema.
Passo 6
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
:
, , ,
:
, , ,
A matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (-1 na posição (2,2)):
:
, , ,
A matriz fica:
Passo 8
Agora, podemos resolver o sistema de trás para frente:
Da terceira equação: ⟹
Da segunda equação: ⟹ ⟹
Da primeira equação: ⟹ ⟹
Resposta
Todos os coeficientes e são iguais a zero. Portanto, o conjunto de polinômios é linearmente independente.