Fazendo:

Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto de polinômios é linearmente independente. A gente tem três polinômios:
Para isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e sistemas de equações. Precisamos descobrir se existe uma combinação desses polinômios que dê zero apenas quando todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação geral da combinação linear igual a zero:
Substituindo os polinômios:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo independente devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos representar esse sistema na forma de matriz aumentada:
Usaremos a eliminação de Gauss para resolver o sistema.

Passo 6

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
  • :
    , , ,
  • :
    , , ,
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (-1 na posição (2,2)):
  • :
    , , ,
A matriz fica:

Passo 8

Agora, podemos resolver o sistema de trás para frente:
  1. Da terceira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da primeira equação:

Resposta

Todos os coeficientes e são iguais a zero. Portanto, o conjunto de polinômios é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Fazendo:

Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.
Definição: Os elementos em um espaço vetorial são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes , nem todas nulas, tais que:
caso contrário , e e2, e são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
S gera E? (ou seja, gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Ou seja, como o último valor da matriz é diferente de zero, independentemente dos valores e , esse sistema tem sempre solução.
. Depois de encontrar bastaria fazermos as devidas substituições nas outras equações.
Assim, S gera E.
Estamos acostumados a usar as bases canônicas (podemos dizer que são as bases padrão). Mas, há problemas mais facilmente tratados em outras bases.