Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa:
Mostrar que é harmônica em um domínio .
Encontrar , que é a conjugada harmônica de .
Formar a função analítica .
Vamos precisar entender sobre funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de .
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero, satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é harmônica no domínio considerado.
Passo 4
Agora, vamos encontrar , a conjugada harmônica de , usando as equações de Cauchy-Riemann. Para uma função analítica , as equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos usar essas igualdades para encontrar .
Passo 5
Já sabemos que:
Então, de acordo com as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação de Cauchy-Riemann:
Calculando da expressão que encontramos:
Isso implica que , então é uma constante. Para simplificar, podemos considerar essa constante como zero.
Passo 7
Portanto, a função conjugada harmônica é:
Agora, temos e , que são harmônicas e conjugadas harmônicas.
Passo 8
Finalmente, vamos formar a função analítica :
Esse é o resultado final da função analítica correspondente.