Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa:
  1. Mostrar que é harmônica em um domínio .
  2. Encontrar , que é a conjugada harmônica de .
  3. Formar a função analítica .
Vamos precisar entender sobre funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero, satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é harmônica no domínio considerado.

Passo 4

Agora, vamos encontrar , a conjugada harmônica de , usando as equações de Cauchy-Riemann. Para uma função analítica , as equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos usar essas igualdades para encontrar .

Passo 5

Já sabemos que:
Então, de acordo com as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação de Cauchy-Riemann:
Calculando da expressão que encontramos:
Isso implica que , então é uma constante. Para simplificar, podemos considerar essa constante como zero.

Passo 7

Portanto, a função conjugada harmônica é:
Agora, temos e , que são harmônicas e conjugadas harmônicas.

Passo 8

Finalmente, vamos formar a função analítica :
Esse é o resultado final da função analítica correspondente.

Resposta

A função analítica correspondente é:

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Seja , calcule .
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Seja , calcule .
Determine a derivada das seguintes funções:
(b)