Definição: Se
for analítica em um domínio
, é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada
é harmônica em um domínio apropriado
, (ii) determine
, a conjugada harmônica de
, e (iii) forme a correspondente função analítica
.
(a)
(i) Comprove que a função dada
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa:
- Mostrar que
é harmônica em um domínio . - Encontrar
, que é a conjugada harmônica de . - Formar a função analítica
.
Vamos precisar entender sobre funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero,
satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é harmônica no domínio considerado.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, a conjugada harmônica de
, usando as equações de Cauchy-Riemann. Para uma função analítica
, as equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos usar essas igualdades para encontrar
.
Passo 5
Já sabemos que:
Então, de acordo com as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação de Cauchy-Riemann:
Calculando
da expressão que encontramos:
Isso implica que
, então
é uma constante. Para simplificar, podemos considerar essa constante como zero.
Passo 7
Portanto, a função conjugada harmônica é:
Agora, temos
e
, que são harmônicas e conjugadas harmônicas.
Passo 8
Finalmente, vamos formar a função analítica
:
Esse é o resultado final da função analítica correspondente.
Resposta
A função analítica correspondente é: