Seja , calcule .

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa calcular a diferença entre as segundas derivadas parciais em relação a e , ou seja, . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , é tratado como constante.
A derivada de em relação a é e a derivada de é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :
A derivada de em relação a é e a derivada de é :

Passo 4

De maneira similar, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Aqui, ao derivar em relação a , o é tratado como constante, e temos que lembrar de aplicar a regra da cadeia com um sinal negativo devido ao :

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :
A derivada de em relação a é e a derivada de é :

Resposta

Agora, vamos calcular a diferença entre as segundas derivadas:
Simplificando:
Portanto, a resposta final é:

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Suponha que seja anlítica. Pode ser analítica? Discuta e defenda sua resposta com matemática sólida.
Seja , calcule .
Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(a)
Seja , calcule .