Seja
, calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa calcular a diferença entre as segundas derivadas parciais em relação a
e
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que quando derivamos em relação a
,
é tratado como constante.
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter
:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
:
Passo 4
De maneira similar, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aqui, ao derivar em relação a
, o
é tratado como constante, e temos que lembrar de aplicar a regra da cadeia com um sinal negativo devido ao
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para obter
:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
:
Resposta
Agora, vamos calcular a diferença entre as segundas derivadas:
Simplificando:
Portanto, a resposta final é: