Seja f(x, y)=ln (x-y)+tg(x-y), calcule partial^2 fpartial x^2-partial^2 fpartial y^2.

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa calcular a diferença entre as segundas derivadas parciais em relação a e , ou seja, . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 1x - y cdot (1) + sec^2(x - y) cdot (1) = 1x - y + sec^2(x - y) em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , é tratado como constante.
A derivada de em relação a é e a derivada de é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 fpartial x^2 = -1(x - y)^2 + 2sec^2(x - y)tan(x - y) novamente em relação a para obter :
A derivada de em relação a é e a derivada de é :

Passo 4

De maneira similar, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 1x - y cdot (-1) + sec^2(x - y) cdot (-1) = -1x - y - sec^2(x - y) em relação a . Aqui, ao derivar em relação a , o é tratado como constante, e temos que lembrar de aplicar a regra da cadeia com um sinal negativo devido ao :

Passo 5

Agora, vamos derivar partial^2 fpartial y^2 = 1(x - y)^2 + 2sec^2(x - y)tan(x - y) novamente em relação a para obter :
A derivada de em relação a é e a derivada de é :

Resposta

Agora, vamos calcular a diferença entre as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 = ( -1(x - y)^2 + 2sec^2(x - y)tan(x - y) ) - ( 1(x - y)^2 + 2sec^2(x - y)tan(x - y) )
Simplificando:
-1(x - y)^2 - 1(x - y)^2 + 2sec^2(x - y)tan(x - y) - 2sec^2(x - y)tan(x - y) = -2(x - y)^2
Portanto, a resposta final é:
partial^2 fpartial x^2 - partial^2 fpartial y^2 = -2(x - y)^2

Exercícios relacionados