Seja , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa calcular uma combinação de derivadas parciais de terceira ordem: . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como calcular derivadas de ordens superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Isso é importante porque vamos precisar delas para chegar nas derivadas de terceira ordem.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos :

Passo 5

Vamos encontrar agora a segunda derivada parcial em relação a : . Derivando em relação a : Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial cruzada: . Primeiro, derivamos em relação a : Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos agora calcular a terceira derivada parcial em relação a : . Derivando em relação a :

Passo 8

Agora, precisamos da terceira derivada parcial: . Derivando em relação a : Aplicando a regra do produto:

Passo 9

Finalmente, vamos combinar tudo conforme o enunciado: Substituindo as expressões que encontramos: Simplificando:

Resposta

Então, a expressão é igual a:

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Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou. (i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica . (a)
Seja , calcule .
Determine a derivada das seguintes funções: (b)
Expresse as seguintes funções na forma . (b)