Seja
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa calcular uma combinação de derivadas parciais de terceira ordem:
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como calcular derivadas de ordens superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso é importante porque vamos precisar delas para chegar nas derivadas de terceira ordem.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
Passo 5
Vamos encontrar agora a segunda derivada parcial em relação a
:
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial cruzada:
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos agora calcular a terceira derivada parcial em relação a
:
.
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Agora, precisamos da terceira derivada parcial:
.
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 9
Finalmente, vamos combinar tudo conforme o enunciado:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Resposta
Então, a expressão
é igual a: