Seja f(x, y)=x y e^x / y, calcule x cdot partial^3 fpartial x^3+y cdot partial^3 fpartial y partial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa calcular uma combinação de derivadas parciais de terceira ordem: . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como calcular derivadas de ordens superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Isso é importante porque vamos precisar delas para chegar nas derivadas de terceira ordem.

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x = y e^x / y + x y cdot 1y e^x / y = y e^x / y + x e^x / y = e^x / y (y + x) :

Passo 4

Agora, calculamos partial fpartial y = x e^x / y + x y cdot (-xy^2) e^x / y = x e^x / y - x^2y e^x / y = xy e^x / y (y - x) :

Passo 5

Vamos encontrar agora a segunda derivada parcial em relação a partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( e^x / y (y + x) ) : = e^x / y cdot 1y (y + x) + e^x / y cdot 1 = e^x / y ( y + xy + 1 ) = e^x / y ( y + x + yy ) = e^x / y ( 2y + xy ) .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial cruzada: partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y ( e^x / y (y + x) ) .
Primeiro, derivamos = e^x / y cdot ( -xy^2 ) (y + x) + e^x / y cdot 1 = e^x / y ( -x(y + x)y^2 + 1 ) em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos agora calcular a terceira derivada parcial em relação a partial^3 fpartial x^3 = partialpartial x ( e^x / y ( 2y + xy ) ) = e^x / y cdot 1y ( 2y + xy ) + e^x / y cdot 1y = e^x / y ( 2y + xy^2 + 1y ) = e^x / y ( 2y + x + yy^2 ) = e^x / y ( 3y + xy^2 ) : .
Derivando em relação a :

Passo 8

Agora, precisamos da terceira derivada parcial: partial^3 fpartial y partial x^2 = partialpartial y ( e^x / y ( 2y + xy ) ) .
Derivando = e^x / y cdot ( -xy^2 ) ( 2y + xy ) + e^x / y cdot 2y + xy^2 = e^x / y ( -(2y + x)xy^3 + 2y + xy^2 ) em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 9

Finalmente, vamos combinar tudo conforme o enunciado:
x cdot partial^3 fpartial x^3 + y cdot partial^3 fpartial y partial x^2
Substituindo as expressões que encontramos:
x cdot e^x / y ( 3y + xy^2 ) + y cdot e^x / y ( -(2y + x)xy^3 + 2y + xy^2 )
Simplificando:
e^x / y ( x(3y + x)y^2 + y(-(2y + x)x + y(2y + x))y^3 )
= e^x / y ( x(3y + x)y^2 + 0y^3 ) = e^x / y cdot x(3y + x)y^2

Resposta

Então, a expressão e^x / y cdot x(3y + x)y^2 é igual a:

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