Seja , calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa calcular uma combinação de derivadas parciais de terceira ordem: . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender como calcular derivadas de ordens superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos começar encontrando as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Isso é importante porque vamos precisar delas para chegar nas derivadas de terceira ordem.
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Vamos encontrar agora a segunda derivada parcial em relação a : .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial cruzada: .
Primeiro, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos agora calcular a terceira derivada parcial em relação a : .
Derivando em relação a :
Passo 8
Agora, precisamos da terceira derivada parcial: .
Derivando em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Passo 9
Finalmente, vamos combinar tudo conforme o enunciado:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Resposta
Então, a expressão é igual a:
Exercícios relacionados
Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(a)
Seja , calcule .
Determine a derivada das seguintes funções:
(b)
Expresse as seguintes funções na forma .
(b)