Suponha que seja anlítica. Pode ser analítica? Discuta e defenda sua resposta com matemática sólida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se, quando é uma função analítica, a função também pode ser analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e como a conjugação complexa afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função é dita analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em uma região ao redor dele. Isso implica que satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições matemáticas essenciais para a diferenciabilidade no contexto dos números complexos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a conjugação complexa. A função basicamente toma cada valor de e troca a parte imaginária de sinal. Então, se , onde e são funções reais de e , então .

Passo 4

Para verificar se é analítica, precisamos ver se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann. Calculando as derivadas parciais de e , vamos ver se elas satisfazem:
Isso simplifica para:

Passo 5

No entanto, como é analítica, ela já satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann originais:
Comparando isso com as equações para , vemos que elas serão satisfeitas apenas se e , o que só acontece se . Ou seja, precisa ser constante, o que torna uma função constante.

Resposta

Portanto, exceto no caso trivial onde é constante, a função não é analítica. A conjugação complexa quebra as Equações de Cauchy-Riemann necessárias para a analiticidade.

Exercícios relacionados

Seja , calcule .
Seja , calcule .
Seja , calcule .
Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(a)