Definição: Se
for analítica em um domínio
, é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada
é harmônica em um domínio apropriado
, (ii) determine
, a conjugada harmônica de
, e (iii) forme a correspondente função analítica
.
(b)
(i) Comprove que a função dada
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função analítica
, onde
. A matéria envolvida aqui são funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar verificar se
é harmônica, achar a função conjugada harmônica
e então formar a função analítica completa
.
Passo 2
Primeiro, precisamos comprovar que
é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se a soma das suas segundas derivadas parciais em relação a
e
for zero:
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Agora, somando as duas segundas derivadas:
Então,
é realmente uma função harmônica.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função conjugada harmônica
. Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos:
Então:
Vamos integrar
em relação a
para achar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à outra equação de Cauchy-Riemann para encontrar
:
Comparando com
, vemos que
, ou seja,
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Então, a função conjugada harmônica é:
Passo 4
Finalmente, vamos formar a função analítica
:
Resposta
A função analítica correspondente é:
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Hallar las derivadas parciales de:
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita .
(a) Fita infinita
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)
(a)