Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função analítica , onde . A matéria envolvida aqui são funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar verificar se é harmônica, achar a função conjugada harmônica e então formar a função analítica completa .

Passo 2

Primeiro, precisamos comprovar que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja, se a soma das suas segundas derivadas parciais em relação a e for zero:
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Agora, somando as duas segundas derivadas:
Então, é realmente uma função harmônica.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função conjugada harmônica . Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos:
Então:
Vamos integrar em relação a para achar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à outra equação de Cauchy-Riemann para encontrar :
Comparando com , vemos que , ou seja, é uma constante. Podemos considerar para simplificar.
Então, a função conjugada harmônica é:

Passo 4

Finalmente, vamos formar a função analítica :

Resposta

A função analítica correspondente é:

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Hallar las derivadas parciales de:
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(b)
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita .
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)