Hallar las derivadas parciales de:
f(x, y) = 2^(1/(x+y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular primeiro, tratando como constante.

Passo 3

A função é . Vamos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivação. Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui, .

Passo 5

Vamos derivar em relação a . A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 6

Agora, multiplicamos isso pela expressão original reescrita:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular . O processo é semelhante ao que fizemos com , já que também aparece no denominador .
A derivada será:

Resposta

As derivadas parciais são:

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