Hallar las derivadas parciales de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular
primeiro, tratando
como constante.
Passo 3
A função é
. Vamos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivação. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 6
Agora, multiplicamos isso pela expressão original reescrita:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. O processo é semelhante ao que fizemos com
, já que
também aparece no denominador
.
A derivada será:
Resposta
As derivadas parciais são: