Hallar las derivadas parciales de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular primeiro, tratando como constante.

Passo 3

A função é . Vamos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivação. Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Aqui, .

Passo 5

Vamos derivar em relação a . A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 6

Agora, multiplicamos isso pela expressão original reescrita:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular . O processo é semelhante ao que fizemos com , já que também aparece no denominador .
A derivada será:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
(b)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(b)
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita .