Hallar las derivadas parciales de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer como derivar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular
primeiro, tratando
como constante.
Passo 3
A função é
. Vamos reescrever isso usando logaritmos para facilitar a derivação. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 6
Agora, multiplicamos isso pela expressão original reescrita:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. O processo é semelhante ao que fizemos com
, já que
também aparece no denominador
.
A derivada será:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
(b)
(b)
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(d)
(d)
Definição: Se
for analítica em um domínio
, é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado
, (ii) determine
, a conjugada harmônica de
, e (iii) forme a correspondente função analítica
.
(b)
(i) Comprove que a função dada
(b)
Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita .
(a) Fita infinita