Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todos os valores complexos do logaritmo de um número complexo dado, que nesse caso é . Isso envolve entender um pouco de álgebra complexa, especialmente como calcular logaritmos de números que têm parte real e imaginária. Vamos precisar transformar o número complexo para a forma polar para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que todo número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento do número complexo. O módulo é a distância do ponto até a origem no plano complexo, e o argumento é o ângulo que essa linha faz com o eixo real positivo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo de . A fórmula para o módulo é:
onde é a parte real e é a parte imaginária. Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . A fórmula é:
Mas como é negativo e é positivo, sabemos que o número está no segundo quadrante. Então:

Passo 5

Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do logaritmo para números complexos. A fórmula geral é:
onde é qualquer número inteiro, já que o argumento pode ser incrementado por múltiplos de sem mudar o número.

Passo 7

Aplicando a fórmula ao nosso número:
Simplificando o logaritmo real:

Passo 8

Então, juntando tudo, temos todos os valores complexos do logaritmo de :

Resposta

Todos os valores complexos do logaritmo de são dados por:
é

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Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
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(b)
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Escreva o valor principal do logaritmo na forma .
(b)