Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todos os valores complexos do logaritmo de um número complexo dado, que nesse caso é
. Isso envolve entender um pouco de álgebra complexa, especialmente como calcular logaritmos de números que têm parte real e imaginária. Vamos precisar transformar o número complexo para a forma polar para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que todo número complexo pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento do número complexo. O módulo
é a distância do ponto até a origem no plano complexo, e o argumento
é o ângulo que essa linha faz com o eixo real positivo.
Passo 3
Vamos calcular o módulo
de
. A fórmula para o módulo é:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. A fórmula é:
Mas como
é negativo e
é positivo, sabemos que o número está no segundo quadrante. Então:
Passo 5
Com o módulo e o argumento encontrados, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula do logaritmo para números complexos. A fórmula geral é:
onde
é qualquer número inteiro, já que o argumento pode ser incrementado por múltiplos de
sem mudar o número.
Passo 7
Aplicando a fórmula ao nosso número:
Simplificando o logaritmo real:
Passo 8
Então, juntando tudo, temos todos os valores complexos do logaritmo de
:
Resposta
Todos os valores complexos do logaritmo de
são dados por: