Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma a+i b.
(b) integrali / 2^i e^pi z d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de até . A matéria que vamos usar aqui é a de antiderivadas e números complexos. Vamos precisar lembrar como achar a antiderivada de uma função exponencial e como lidar com números imaginários, tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a antiderivada de . A antiderivada de é , onde é uma constante. No nosso caso, , então a antiderivada de é .

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites da integral: de até . Isso significa que vamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular e^pi i = cos(pi) + isin(pi) = -1 + i cdot 0 = -1 e e^pi i2 = cos(pi2) + isin(pi2) = 0 + i cdot 1 = i separadamente. Sabemos que (isso é a famosa fórmula de Euler).
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da integral:
e^pi ipi - e^pi i2pi = -1pi - ipi = -1pi - 1pii

Resposta

A integral vale .

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