Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a imagem do conjunto dado sob a transformação exponencial. O enunciado específico é para o intervalo infinito onde . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação exponencial e como ela afeta os conjuntos de números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação exponencial. Basicamente, é uma função que eleva o número (aproximadamente 2,718) a uma certa potência. A fórmula é:
Essa função transforma cada valor de no seu correspondente .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a imagem de um conjunto sob essa transformação. A imagem é simplesmente o conjunto de todos os resultados que obtemos quando aplicamos a função exponencial a cada elemento do conjunto original. Então, se nosso conjunto original é , queremos ver onde cada desse intervalo vai parar depois de aplicarmos .

Passo 4

Vamos aplicar a função exponencial aos limites do intervalo. Primeiro, para :
E para :

Passo 5

Como a função exponencial é estritamente crescente, isso significa que conforme aumenta, também aumenta. Portanto, para todos os no intervalo , vai variar entre e .

Passo 6

Finalmente, colocando tudo junto, a imagem do intervalo sob a transformação exponencial é o intervalo onde varia de até . Como , será maior que , e como , será no máximo .

Resposta

A imagem do conjunto sob a transformação exponencial é o intervalo .

Exercícios relacionados

Definição: Se for analítica em um domínio , é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado , (ii) determine , a conjugada harmônica de , e (iii) forme a correspondente função analítica .
(b)
Hallar las derivadas parciales de:
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)
Hallar las derivadas parciales de: