Determine a imagem do dado conjunto sob a transformação exponencial.
(a) Fita infinita
.
(a) Fita infinita
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a imagem do conjunto dado sob a transformação exponencial. O enunciado específico é para o intervalo infinito onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação exponencial e como ela afeta os conjuntos de números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação exponencial. Basicamente, é uma função que eleva o número
(aproximadamente 2,718) a uma certa potência. A fórmula é:
Essa função transforma cada valor de
no seu correspondente
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a imagem de um conjunto sob essa transformação. A imagem é simplesmente o conjunto de todos os resultados que obtemos quando aplicamos a função exponencial a cada elemento do conjunto original. Então, se nosso conjunto original é
, queremos ver onde cada
desse intervalo vai parar depois de aplicarmos
.
Passo 4
Vamos aplicar a função exponencial aos limites do intervalo. Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Como a função exponencial é estritamente crescente, isso significa que conforme
aumenta,
também aumenta. Portanto, para todos os
no intervalo
,
vai variar entre
e
.
Passo 6
Finalmente, colocando tudo junto, a imagem do intervalo
sob a transformação exponencial é o intervalo onde
varia de
até
. Como
,
será maior que
, e como
,
será no máximo
.
Resposta
A imagem do conjunto
sob a transformação exponencial é o intervalo
.
Exercícios relacionados
Definição: Se
for analítica em um domínio
, é possível determinar a outra (salvo uma constante) a partir das equações de Cauchy-Riemann. Esta recebe o nome de conjugada harmônica da função que a originou.
(i) Comprove que a função dada é harmônica em um domínio apropriado
, (ii) determine
, a conjugada harmônica de
, e (iii) forme a correspondente função analítica
.
(b)
(i) Comprove que a função dada
(b)
Hallar las derivadas parciales de:
Determine todos os valores complexos do logaritmo dado.
(a)
(a)
Hallar las derivadas parciales de: