Definição de limite. Seja uma função definida em algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em . Dizemos que o limite da função quando tende a é igual a , e escrevemos quando, dado qualquer, existe tal que, se , então . (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)

Passo 1

Beleza, vamos falar sobre o conceito de limite em funções matemáticas. Quando a gente quer saber qual valor uma função está se aproximando perto de um certo ponto, usamos o limite. Para entender isso, vamos precisar da definição formal de limite usando os conceitos de (varepsilon) e (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está no enunciado. Temos uma função definida em um intervalo aberto que contém o ponto , menos possivelmente em mesmo. Isso significa que está “funcionando” perto de , mas talvez não exatamente em .

Passo 3

A definição diz que o limite de quando se aproxima de é igual a , o que escrevemos assim:
Isso quer dizer que à medida que chega cada vez mais perto de , fica cada vez mais perto de .

Passo 4

Agora, vamos mergulhar no e . O representa uma pequena margem de erro que a gente decide, por exemplo, quão perto queremos que fique de . Pode ser qualquer valor positivo:
A ideia é que para qualquer que você escolher, a gente consegue encontrar um correspondente.

Passo 5

O é a distância em que precisa estar de para que fique dentro de de . Ou seja, se está dentro dessa distância de (mas diferente de ), então estará dentro da distância de :
Isso garante que está realmente se aproximando de conforme se aproxima de .

Passo 6

Vamos resumir: para provar que o limite de quando tende a é , precisamos mostrar que para todo , existe um tal que, se está dentro de de (mas não igual a ), então está dentro de de .

Resposta

Então, resumindo, a definição de limite formaliza a ideia de que se aproxima de à medida que se aproxima de , garantindo isso através da relação entre e .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista.
c)
Prove (utilizando a definição de limite) que .
Calcule, caso exista.
h)
Prove (utilizando a definição de limite) que . Se convença de que o valor de depende do dado.