Definição de limite. Seja
uma função definida em algum intervalo aberto contendo
, exceto possivelmente em
. Dizemos que o limite da função
quando
tende a
é igual a
, e escrevemos
quando, dado
qualquer, existe
tal que, se
, então
. (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o conceito de limite em funções matemáticas. Quando a gente quer saber qual valor uma função está se aproximando perto de um certo ponto, usamos o limite. Para entender isso, vamos precisar da definição formal de limite usando os conceitos de
(varepsilon) e
(delta).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está no enunciado. Temos uma função
definida em um intervalo aberto que contém o ponto
, menos possivelmente em
mesmo. Isso significa que
está “funcionando” perto de
, mas talvez não exatamente em
.
Passo 3
A definição diz que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, o que escrevemos assim:
Isso quer dizer que à medida que
chega cada vez mais perto de
,
fica cada vez mais perto de
.
Passo 4
Agora, vamos mergulhar no
e
. O
representa uma pequena margem de erro que a gente decide, por exemplo, quão perto queremos que
fique de
. Pode ser qualquer valor positivo:
A ideia é que para qualquer
que você escolher, a gente consegue encontrar um
correspondente.
Passo 5
O
é a distância em que
precisa estar de
para que
fique dentro de
de
. Ou seja, se
está dentro dessa distância
de
(mas diferente de
), então
estará dentro da distância
de
:
Isso garante que
está realmente se aproximando de
conforme
se aproxima de
.
Passo 6
Vamos resumir: para provar que o limite de
quando
tende a
é
, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que, se
está dentro de
de
(mas não igual a
), então
está dentro de
de
.
Resposta
Então, resumindo, a definição de limite formaliza a ideia de que
se aproxima de
à medida que
se aproxima de
, garantindo isso através da relação entre
e
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista.
c)
c)
Prove (utilizando a definição de limite) que
.
Calcule, caso exista.
h)
h)
Prove (utilizando a definição de limite) que
. Se convença de que o valor de
depende do
dado.