Prove (utilizando a definição de limite) que
. Se convença de que o valor de
depende do
dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que
. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de
e
. Precisaremos entender como escolher o
com base no
que a gente escolhe para garantir que
fique bem próximo de 5 quando
está bem próximo de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Aqui,
e
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, queremos que
. Vamos calcular isso:
Então, queremos que
.
Passo 4
Agora, para garantir
, podemos dividir ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma condição para escolher o
. Ou seja, se escolhermos
, sempre que
, teremos
.
Passo 5
Então, concluímos que para todo
, podemos escolher
para satisfazer a definição de limite. Isso mostra que
e que o valor de
realmente depende do valor de
escolhido.
Resposta
Portanto, provamos que
utilizando a definição de limite, escolhendo
para qualquer
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista.
h)
h)
Definição de limite. Seja
uma função definida em algum intervalo aberto contendo
, exceto possivelmente em
. Dizemos que o limite da função
quando
tende a
é igual a
, e escrevemos
quando, dado
qualquer, existe
tal que, se
, então
. (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
Calcule os limites
f)
f)