Prove (utilizando a definição de limite) que lim x 3(2 x-1)=5. Se convença de que o valor de de depende do varepsilon dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que . Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de e . Precisaremos entender como escolher o com base no que a gente escolhe para garantir que fique bem próximo de 5 quando está bem próximo de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, e .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função |2x - 1 - 5| = |2x - 6| = 2|x - 3| , queremos que . Vamos calcular isso:
Então, queremos que .

Passo 4

Agora, para garantir |x - 3| < varepsilon2 , podemos dividir ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma condição para escolher o . Ou seja, se escolhermos , sempre que , teremos .

Passo 5

Então, concluímos que para todo , podemos escolher para satisfazer a definição de limite. Isso mostra que e que o valor de realmente depende do valor de escolhido.

Resposta

Portanto, provamos que utilizando a definição de limite, escolhendo para qualquer .

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