Prove (utilizando a definição de limite) que . Se convença de que o valor de depende do dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que . Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de e . Precisaremos entender como escolher o com base no que a gente escolhe para garantir que fique bem próximo de 5 quando está bem próximo de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, e .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , queremos que . Vamos calcular isso:
Então, queremos que .

Passo 4

Agora, para garantir , podemos dividir ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma condição para escolher o . Ou seja, se escolhermos , sempre que , teremos .

Passo 5

Então, concluímos que para todo , podemos escolher para satisfazer a definição de limite. Isso mostra que e que o valor de realmente depende do valor de escolhido.

Resposta

Portanto, provamos que utilizando a definição de limite, escolhendo para qualquer .

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista.
h)
Definição de limite. Seja uma função definida em algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em . Dizemos que o limite da função quando tende a é igual a , e escrevemos quando, dado qualquer, existe tal que, se , então . (atenção em quem é dado e quem é que deve existir a partir deste sujeito)
Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos:
Dica: use as identidades
Calcule os limites
f)