n) lim x 0 3^sin (x)-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites, funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e expansões em séries de Taylor para aproximar as funções próximas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando é bem pequeno, pode ser aproximado por , ou seja, . Isso simplifica nossos cálculos porque torna a função trigonométrica mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos lidar com 3^sin(x) = e^sin(x) ln(3) . Sabemos que qualquer função exponencial 3^sin(x) approx e^x ln(3) pode ser escrita usando a base assim: . Aplicando isso aqui, temos:
Como já vimos que , podemos substituir:

Passo 4

Vamos agora expandir e^y approx 1 + y usando a série de Taylor para e^x ln(3) approx 1 + x ln(3) perto de 3^sin(x) - 1 approx x ln(3) :
Substituindo por , temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
lim x 0 3^sin (x)-1x approx lim x 0 x ln(3)x = ln(3)
O no numerador e denominador cancela, e o limite é simplesmente .

Resposta

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