n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites, funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e expansões em séries de Taylor para aproximar as funções próximas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
é bem pequeno,
pode ser aproximado por
, ou seja,
. Isso simplifica nossos cálculos porque torna a função trigonométrica mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora, precisamos lidar com
. Sabemos que qualquer função exponencial
pode ser escrita usando a base
assim:
. Aplicando isso aqui, temos:
Como já vimos que
, podemos substituir:
Passo 4
Vamos agora expandir
usando a série de Taylor para
perto de
:
Substituindo
por
, temos:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
O
no numerador e denominador cancela, e o limite é simplesmente
.
Resposta
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Estude as convergências das sequências
:
- Definição Seja
uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próximos de . Dizemos que o limite de quando tende a é e escrevemos
se para todo número
houver um número correspondente de
tal que
e
então
m)
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.