n) lim x 0 3^sin (x)-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve conceitos de cálculo, especificamente limites, funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e expansões em séries de Taylor para aproximar as funções próximas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando é bem pequeno, pode ser aproximado por , ou seja, . Isso simplifica nossos cálculos porque torna a função trigonométrica mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos lidar com 3^sin(x) = e^sin(x) ln(3) . Sabemos que qualquer função exponencial 3^sin(x) approx e^x ln(3) pode ser escrita usando a base assim: . Aplicando isso aqui, temos:
Como já vimos que , podemos substituir:

Passo 4

Vamos agora expandir e^y approx 1 + y usando a série de Taylor para e^x ln(3) approx 1 + x ln(3) perto de 3^sin(x) - 1 approx x ln(3) :
Substituindo por , temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
lim x 0 3^sin (x)-1x approx lim x 0 x ln(3)x = ln(3)
O no numerador e denominador cancela, e o limite é simplesmente .

Resposta

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(-1)^n/n
  1. Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se para todo número varepsilon>0 houver um número correspondente de de0 tal que se(x, y) in D e 0 então |f(x, y)-L|
m) lim x 0 x^2ln (sec (x))
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.