Estude as convergências das sequências
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar a convergência da sequência
. Isso significa que queremos saber se, quando
fica muito grande, os termos da sequência se aproximam de algum número específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como o termo alternado
influencia o comportamento geral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da sequência que não alterna, ou seja,
. Sabemos que, quando
cresce cada vez mais,
diminui e se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso nos mostra que a magnitude dos termos está diminuindo para zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar o termo alternado
. Esse termo faz com que a sequência oscile entre positivo e negativo. Por exemplo, para
, temos
; para
,
; e assim por diante. Apesar dessa oscilação, a magnitude
está diminuindo para zero. Portanto, mesmo que os termos mudem de sinal, eles estão se aproximando de zero.
Resposta
A sequência
converge para zero.
Exercícios relacionados
- Definição Seja
uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próximos de . Dizemos que o limite de quando tende a é e escrevemos
se para todo número
houver um número correspondente de
tal que
e
então
Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
n)
m)