Estude as convergências das sequências a_n :
(-1)^n/n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar a convergência da sequência . Isso significa que queremos saber se, quando fica muito grande, os termos da sequência se aproximam de algum número específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como o termo alternado influencia o comportamento geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da sequência que não alterna, ou seja, . Sabemos que, quando cresce cada vez mais, diminui e se aproxima de zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Isso nos mostra que a magnitude dos termos está diminuindo para zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar o termo alternado . Esse termo faz com que a sequência oscile entre positivo e negativo. Por exemplo, para , temos ; para , ; e assim por diante. Apesar dessa oscilação, a magnitude está diminuindo para zero. Portanto, mesmo que os termos mudem de sinal, eles estão se aproximando de zero.

Resposta

A sequência converge para zero.

Exercícios relacionados

  1. Definição Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L e escrevemos
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se para todo número varepsilon>0 houver um número correspondente de de0 tal que se(x, y) in D e 0 então |f(x, y)-L|
Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
a_n = ln(n)
n) lim x 0 3^sin (x)-1x
m) lim x 0 x^2ln (sec (x))