Dê a definição de: Solução geral de uma equação linear não-homogênea.
Passo 1
Beleza, então o que a gente quer aqui é entender o que é a solução geral de uma equação linear não-homogênea. Isso faz parte da matemática, mais especificamente de equações diferenciais ou Álgebra Linear, dependendo do contexto. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber a diferença entre equações homogêneas e não-homogêneas, além de entender o que significa encontrar uma solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação linear não-homogênea é uma equação que pode ser escrita na forma:
onde pelo menos um dos termos b não é zero. Ou seja, ela tem um termo constante diferente de zero.
Já a solução geral dessa equação é o conjunto de todas as possíveis soluções que satisfazem a equação. Para encontrá-la, a gente geralmente encontra a solução particular da equação não-homogênea e adiciona a ela a solução geral da equação homogênea associada.
A equação homogênea correspondente seria:
E a solução geral dessa equação homogênea é um conjunto de soluções que formam um espaço vetorial, geralmente envolvendo parâmetros livres.
Passo 3
Então, juntando as duas partes, a solução geral da equação linear não-homogênea é dada por:
Isso significa que todas as soluções da equação não-homogênea podem ser obtidas somando uma solução específica que resolve a equação completa com a inclusão do termo constante, com todas as soluções possíveis da equação homogênea associada.
Resposta
A solução geral de uma equação linear não-homogênea é o conjunto de todas as soluções formadas pela soma de uma solução particular da equação não-homogênea com a solução geral da equação homogênea associada. Matematicamente, é expressa por: