Verifique se as funções dadas são L.I ou L.D em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as funções
,
e
são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente ou dependente. Funções são linearmente independentes se nenhuma delas puder ser escrita como uma combinação linear das outras. Caso contrário, são linearmente dependentes.
Matematicamente, queremos saber se existem constantes
, não todas zero, tais que:
Passo 3
Vamos tentar expressar uma das funções como combinação das outras. Observamos que
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
Isso significa que:
Passo 4
A equação acima mostra que
é uma combinação linear de
e
. Ou seja, podemos encontrar constantes
,
e
que satisfazem:
Como encontramos uma combinação não trivial (com pelo menos uma constante diferente de zero) que zera a expressão, isso confirma que as funções são linearmente dependentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente dependentes no intervalo
.