Sabendo que
é crescente em
, calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e sabemos que ela é crescente no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos diz como a função está mudando. Vamos precisar calcular a derivada de
e garantir que ela seja sempre positiva nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dela em cada ponto. Então, derivando cada termo:
Calculando termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, queremos que a função
seja crescente no intervalo
. Isso significa que a derivada deve ser maior ou igual a zero nesse intervalo:
Passo 4
Vamos reorganizar a inequação para isolar o
:
Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo
, precisamos encontrar o valor mínimo de
nesse intervalo. O valor de
deve ser pelo menos esse mínimo.
Passo 5
Vamos encontrar o mínimo da função
para
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Isso não tem solução real porque
é positivo para
e o lado direito é negativo. Portanto, a função
não tem pontos críticos no intervalo considerado e é sempre decrescente.
Passo 7
Como
é sempre decrescente para
, o mínimo ocorre no limite quando
tende ao infinito. Calculando o limite:
No entanto, como queremos que
para todo
, precisamos que
seja maior ou igual ao valor de
no ponto onde
, já que
está decrescendo.
Passo 8
Vamos calcular
:
Então, para que
, precisamos que:
Resposta
O valor de
deve ser maior ou igual a 46.