Sabendo que f(x) = k x + 3/x + 4 x^2 é crescente em [1/4, +infinito), calcule o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela é crescente no intervalo . Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos diz como a função está mudando. Vamos precisar calcular a derivada de e garantir que ela seja sempre positiva nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dela em cada ponto. Então, derivando cada termo:
Calculando termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , queremos que a função seja crescente no intervalo . Isso significa que a derivada deve ser maior ou igual a zero nesse intervalo:

Passo 4

Vamos reorganizar a inequação para isolar o :
Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo , precisamos encontrar o valor mínimo de nesse intervalo. O valor de deve ser pelo menos esse mínimo.

Passo 5

Vamos encontrar o mínimo da função para . Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos :
Isso não tem solução real porque é positivo para e o lado direito é negativo. Portanto, a função não tem pontos críticos no intervalo considerado e é sempre decrescente.

Passo 7

Como é sempre decrescente para , o mínimo ocorre no limite quando tende ao infinito. Calculando o limite:
No entanto, como queremos que para todo , precisamos que seja maior ou igual ao valor de no ponto onde , já que está decrescendo.

Passo 8

Vamos calcular :
Então, para que , precisamos que:

Resposta

O valor de deve ser maior ou igual a 46.

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