Se X1 e X2 são vetores aleatórios n1 e n2 dimensionais, a variável aleatória X1 ^prime A X2 onde A é uma matriz tilden1 times tilden2 é chamada forma bilinear. Verifica-se que
E(Xsim^prime ^prime A Xsim)=tr(A C^prime)+musim^prime ^prime A mu2
em que mui=E(undersetsimXi), i=1,2, e Cov(undersetsimX1, undersetsimX2)=C. Utilize esse resultado para calcular E(undersetsimX^prime undersetsimY), onde undersetsimX sim N(mu1, I), undersetsimY sim undersetsimsim N(mu2, I) e a matriz de correlação entre undersetsimX undersetsimX e é R.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores aleatórios e , que seguem distribuições normais multivariadas com médias e , e matrizes de covariância iguais à matriz identidade . Além disso, existe uma matriz de correlação entre e . O objetivo é calcular a esperança usando o resultado fornecido sobre formas bilineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dada para a esperança de uma forma bilinear:
E(undersetsimX^prime A undersetsimY) = tr(A C^prime) + muX^prime A muY
Aqui:
  • é uma matriz que no nosso caso será a matriz identidade porque estamos calculando .
  • é a matriz de covariância entre e , que está relacionada com a matriz de correlação .

Passo 3

Vamos identificar os elementos na fórmula para o nosso caso específico:
  • (matriz identidade).
  • e .
  • A matriz de covariância entre e pode ser obtida a partir da matriz de correlação . Como as matrizes de covariância de e são identidades, então .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula:
E(undersetsimX^prime I undersetsimY) = tr(I cdot R^prime) + mu1^prime I mu2
Como I cdot R^prime = R^prime é a matriz identidade, temos:
tr(R)
E a traça de é a soma dos elementos diagonais de . Mas como é simétrica (matriz de correlação), , então:

Passo 5

Além disso, simplifica para , que é o produto interno dos vetores médias.

Passo 6

Juntando tudo:
E(undersetsimX^prime undersetsimY) = tr(R) + mu1^prime mu2

Resposta

A esperança tr(R) + mu1^prime mu2 é igual a

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