Se
e
são vetores aleatórios
e
dimensionais, a variável aleatória
onde
é uma matriz
é chamada forma bilinear. Verifica-se que
em que
, e
. Utilize esse resultado para calcular
, onde
e a matriz de correlação entre
e é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores aleatórios
e
, que seguem distribuições normais multivariadas com médias
e
, e matrizes de covariância iguais à matriz identidade
. Além disso, existe uma matriz de correlação
entre
e
. O objetivo é calcular a esperança
usando o resultado fornecido sobre formas bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula dada para a esperança de uma forma bilinear:
Aqui:
-
é uma matriz que no nosso caso será a matriz identidade porque estamos calculando . -
é a matriz de covariância entre e , que está relacionada com a matriz de correlação .
Passo 3
Vamos identificar os elementos na fórmula para o nosso caso específico:
-
(matriz identidade). -
e . - A matriz de covariância
entre e pode ser obtida a partir da matriz de correlação . Como as matrizes de covariância de e são identidades, então .
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula:
Como
é a matriz identidade, temos:
E a traça de
é a soma dos elementos diagonais de
. Mas como
é simétrica (matriz de correlação),
, então:
Passo 5
Além disso,
simplifica para
, que é o produto interno dos vetores médias.
Passo 6
Juntando tudo:
Resposta
A esperança
é igual a
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Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas
, nos casos:
e
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a)
e
a)
e
Mostre que se
é uma inversa generalizada de
, então
é uma inversa generalizada de
.
Se
é definida como
Prove que
onde
são inversas generalizadas de
, respectivamente.