Mostre que se
é uma inversa generalizada de
, então
é uma inversa generalizada de
.
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para mostrar que se
é uma inversa generalizada de
, então o transposto de
, que chamamos de
, é uma inversa generalizada do transposto de
, ou seja,
. Estamos trabalhando com matrizes e transpostos, e vamos precisar entender as propriedades das inversas generalizadas e de transposição de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser uma inversa generalizada de
. Por definição, isso quer dizer que:
Isso significa que, quando multiplicamos
por
e depois novamente por
, o resultado volta a ser
.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que
é uma inversa generalizada de
. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar uma propriedade importante das matrizes: o transposto de um produto de matrizes é igual ao produto dos transpostos na ordem inversa. Matematicamente, isso significa que:
Passo 4
Aplicando essa propriedade à equação
, temos:
Mas, usando a propriedade dos transpostos, o lado esquerdo fica:
Portanto, a equação fica:
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz a condição de inversa generalizada para
, ou seja:
Exercícios relacionados
Se
e
são vetores aleatórios
e
dimensionais, a variável aleatória
onde
é uma matriz
é chamada forma bilinear. Verifica-se que
em que
, e
. Utilize esse resultado para calcular
, onde
e a matriz de correlação entre
e é
.
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas
, nos casos:
e
Se
é definida como
Prove que
onde
são inversas generalizadas de
, respectivamente.
Determine, usando a definição, uma inversa generalizada de
.