Definido o operador angular da mecânica quântica com , mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de mecânica quântica, mais especificamente lidando com operadores de momento angular. Nosso objetivo é mostrar que a combinação dos operadores e pode ser expressa de uma maneira específica em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular se comportam nas coordenadas esféricas e usar um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do operador de momento angular na mecânica quântica:
Aqui, é o vetor posição e é o operador gradiente. A expressão representa o produto vetorial entre e .

Passo 3

Agora, vamos focar nas componentes e do operador . Em coordenadas cartesianas, essas componentes são dadas por:
Queremos encontrar a combinação .

Passo 4

Vamos somar e :
Simplificando os termos, temos:
Lembrando que , isso se torna:

Passo 5

Para avançar, precisamos expressar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas em termos de coordenadas esféricas ( ). As relações de transformação são:
E as derivadas podem ser convertidas usando a regra da cadeia.

Passo 6

Aplicando a transformação, vamos reescrever cada termo:
  1. :
  1. :
  1. Similarmente para os outros termos.

Passo 7

Após substituir todas as derivadas parciais e simplificar, observamos que os termos envolvendo cancelam-se, e os termos restantes envolvem apenas derivadas em e . Coletando os termos, obtemos:
Essa expressão mostra a combinação dos operadores e nas coordenadas esféricas, envolvendo as derivadas em e multiplicadas por fatores trigonométricos adequados.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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