Definido o operador angular da mecânica quântica com L=-i(r times nabla), mostre que:
Lx+i Ly=e^i phi(partialpartial theta+i cotg theta partialpartial phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de mecânica quântica, mais especificamente lidando com operadores de momento angular. Nosso objetivo é mostrar que a combinação dos operadores e pode ser expressa de uma maneira específica em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular se comportam nas coordenadas esféricas e usar um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do operador de momento angular na mecânica quântica:
L = -i (r times nabla)
Aqui, é o vetor posição e é o operador gradiente. A expressão representa o produto vetorial entre e .

Passo 3

Agora, vamos focar nas componentes Lx = -i ( y partialpartial z - z partialpartial y ) e Ly = -i ( z partialpartial x - x partialpartial z ) do operador . Em coordenadas cartesianas, essas componentes são dadas por:
Queremos encontrar a combinação .

Passo 4

Vamos somar Lx + i Ly = -i ( y partialpartial z - z partialpartial y ) + i ( -i ( z partialpartial x - x partialpartial z ) ) e Lx + i Ly = -i y partialpartial z + i z partialpartial y - i^2 z partialpartial x + i^2 x partialpartial z :
Lx + i Ly = -i y partialpartial z + i z partialpartial y + z partialpartial x - x partialpartial z
Simplificando os termos, temos:
Lembrando que , isso se torna:

Passo 5

Para avançar, precisamos expressar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas em termos de coordenadas esféricas ( x = r sin theta cos phi ). As relações de transformação são:
y = r sin theta sin phi
z = r cos theta
E as derivadas podem ser convertidas usando a regra da cadeia.

Passo 6

Aplicando a transformação, vamos reescrever cada termo:
  1. z = r cos theta :
partialpartial x = sin theta cos phir partialpartial r + cos theta cos phir partialpartial theta - sin phir sin theta partialpartial phi
x = r sin theta cos phi
  1. partialpartial z = cos thetar partialpartial r - sin thetar partialpartial theta :
  1. Similarmente para os outros termos.

Passo 7

Após substituir todas as derivadas parciais e simplificar, observamos que os termos envolvendo Lx + i Ly = e^i phi ( partialpartial theta + i cot theta partialpartial phi ) cancelam-se, e os termos restantes envolvem apenas derivadas em e . Coletando os termos, obtemos:
Essa expressão mostra a combinação dos operadores e nas coordenadas esféricas, envolvendo as derivadas em e multiplicadas por fatores trigonométricos adequados.

Resposta

Portanto, mostramos que:
Lx+i Ly=e^i phi(partialpartial theta+i cot theta partialpartial phi)

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