Definido o operador angular da mecânica quântica com
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de mecânica quântica, mais especificamente lidando com operadores de momento angular. Nosso objetivo é mostrar que a combinação dos operadores
e
pode ser expressa de uma maneira específica em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular se comportam nas coordenadas esféricas e usar um pouco de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do operador de momento angular na mecânica quântica:
Aqui,
é o vetor posição e
é o operador gradiente. A expressão
representa o produto vetorial entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos focar nas componentes
e
do operador
. Em coordenadas cartesianas, essas componentes são dadas por:
Queremos encontrar a combinação
.
Passo 4
Vamos somar
e
:
Simplificando os termos, temos:
Lembrando que
, isso se torna:
Passo 5
Para avançar, precisamos expressar as derivadas parciais em coordenadas cartesianas em termos de coordenadas esféricas (
). As relações de transformação são:
E as derivadas podem ser convertidas usando a regra da cadeia.
Passo 6
Aplicando a transformação, vamos reescrever cada termo:
-
:
-
:
- Similarmente para os outros termos.
Passo 7
Após substituir todas as derivadas parciais e simplificar, observamos que os termos envolvendo
cancelam-se, e os termos restantes envolvem apenas derivadas em
e
. Coletando os termos, obtemos:
Essa expressão mostra a combinação dos operadores
e
nas coordenadas esféricas, envolvendo as derivadas em
e
multiplicadas por fatores trigonométricos adequados.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Os capacitores estão inicialmente descarregados. As capacitâncias são
e
e a diferença de potencial da bateria é
. Determine:
A energia total armazenada pelos capacitores.
A energia total armazenada pelos capacitores.
O momento angular orbital
de uma partícula é dado por
, em que
é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por
, mostre que
Aqui,
é um vetor unitário na direção
. Para
isso se reduz a
, com o momento de inércia
dado por
. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.
No sistema coordenado polar esférico,
. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas:
e
.
Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mos tre que