No sistema coordenado polar esférico, q1=r, q2=theta, q3=varphi. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
x=r sen theta cos varphi, y=r sen theta sen varphi, z=r cos theta
Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: hr, htheta e hvarphi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistema de coordenadas polar esférico. A gente tem as equações de transformação que ligam as coordenadas esféricas (r, theta, varphi) às cartesianas (x, y, z). Nosso objetivo aqui é calcular os fatores de escala hr, htheta e hvarphi. Esses fatores são importantes porque eles nos ajudam a entender como pequenas variações nas coordenadas esféricas se traduzem em mudanças nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os fatores de escala. Em sistemas de coordenadas, os fatores de escala relacionam as variações infinitesimais nas coordenadas originais com as variações no espaço físico. Em termos simples, eles nos dizem “quanto” cada coordenada afeta a posição no espaço. Para calcular esses fatores, usamos as derivadas parciais das equações de transformação em relação a cada coordenada.

Passo 3

Vamos começar calculando o fator de escala hr. Isso envolve derivar as coordenadas cartesianas (x, y, z) em relação a r. As equações de transformação são:
x = r sin theta cos varphi, y = r sin theta sin varphi, z = r cos theta
Derivando cada uma em relação a r:
partial xpartial r = sin theta cos varphi, partial ypartial r = sin theta sin varphi, partial zpartial r = cos theta
Agora, o fator de escala hr é a magnitude do vetor resultante dessas derivadas:
hr = raiz(partial xpartial r)^2 + (partial ypartial r)^2 + (partial zpartial r)^2
Calculando:
hr = raiz(sin^2 theta cos^2 varphi) + (sin^2 theta sin^2 varphi) + (cos^2 theta) = raizsin^2 theta (cos^2 varphi + sin^2 varphi) + cos^2 theta = raizsin^2 theta + cos^2 theta = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o fator de escala htheta. Para isso, derivamos as coordenadas cartesianas em relação a theta:
partial xpartial theta = r cos theta cos varphi, partial ypartial theta = r cos theta sin varphi, partial zpartial theta = -r sin theta
O fator de escala htheta é:
htheta = raiz(partial xpartial theta)^2 + (partial ypartial theta)^2 + (partial zpartial theta)^2
Calculando:
htheta = raiz(r^2 cos^2 theta cos^2 varphi) + (r^2 cos^2 theta sin^2 varphi) + (r^2 sin^2 theta) = raizr^2 cos^2 theta (cos^2 varphi + sin^2 varphi) + r^2 sin^2 theta = raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o fator de escala hvarphi. Derivamos as coordenadas cartesianas em relação a varphi:
partial xpartial varphi = -r sin theta sin varphi, partial ypartial varphi = r sin theta cos varphi, partial zpartial varphi = 0
O fator de escala hvarphi é:
hvarphi = raiz(partial xpartial varphi)^2 + (partial ypartial varphi)^2 + (partial zpartial varphi)^2
Calculando:
hvarphi = raiz(r^2 sin^2 theta sin^2 varphi) + (r^2 sin^2 theta cos^2 varphi) + 0 = raizr^2 sin^2 theta (sin^2 varphi + cos^2 varphi) = raizr^2 sin^2 theta = r sin theta

Resposta

Os fatores de escala das coordenadas polares esféricas são:
hr = 1, htheta = r, hvarphi = r sin theta

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