No sistema coordenado polar esférico,
. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistema de coordenadas polar esférico. A gente tem as equações de transformação que ligam as coordenadas esféricas
às cartesianas
. Nosso objetivo aqui é calcular os fatores de escala
,
e
. Esses fatores são importantes porque eles nos ajudam a entender como pequenas variações nas coordenadas esféricas se traduzem em mudanças nas coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os fatores de escala. Em sistemas de coordenadas, os fatores de escala relacionam as variações infinitesimais nas coordenadas originais com as variações no espaço físico. Em termos simples, eles nos dizem “quanto” cada coordenada afeta a posição no espaço. Para calcular esses fatores, usamos as derivadas parciais das equações de transformação em relação a cada coordenada.
Passo 3
Vamos começar calculando o fator de escala
. Isso envolve derivar as coordenadas cartesianas
em relação a
. As equações de transformação são:
Derivando cada uma em relação a
:
Agora, o fator de escala
é a magnitude do vetor resultante dessas derivadas:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fator de escala
. Para isso, derivamos as coordenadas cartesianas em relação a
:
O fator de escala
é:
Calculando:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o fator de escala
. Derivamos as coordenadas cartesianas em relação a
:
O fator de escala
é:
Calculando:
Resposta
Os fatores de escala das coordenadas polares esféricas são:
Exercícios relacionados
Definido o operador angular da mecânica quântica com
, mostre que:
Os capacitores estão inicialmente descarregados. As capacitâncias são
e
e a diferença de potencial da bateria é
. Determine:
A energia total armazenada pelos capacitores.
A energia total armazenada pelos capacitores.
Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mos tre que
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por:
, em que o potencial é dado em Volt e
e
é dado em metro. Determine o módulo do campo elétrico no ponto
.