Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mos tre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que, usando coordenadas cilíndricas circulares, o divergente de
é 3 e o rotacional de
é 0. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente os operadores divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas desses operadores nessa coordenada e da expressão do vetor posição
em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o vetor posição
em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço pode ser representado por
, onde
é a distância radial,
é o ângulo azimutal e
é a altura.
O vetor posição
então é dado por:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e axial, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
, que é
. Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do divergente para um vetor geral
é:
No nosso caso,
, então
,
e
.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do divergente:
Simplificando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora vamos calcular o rotacional de
, que é
. A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um vetor
é:
No nosso caso, novamente
,
e
.
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando cada termo:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
No sistema coordenado polar esférico,
. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas:
e
.
Definido o operador angular da mecânica quântica com
, mostre que:
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por:
, em que o potencial é dado em Volt e
e
é dado em metro. Determine o módulo do campo elétrico no ponto
.
Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de
e
. A carga da casca menor é
, e da casca maior é
. Determine o módulo do campo elétrico em (a)
e (b)
.