Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mos tre que
nabla cdot r=3 e nabla times r=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que, usando coordenadas cilíndricas circulares, o divergente de é 3 e o rotacional de é 0. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente os operadores divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas desses operadores nessa coordenada e da expressão do vetor posição em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o vetor posição r = rho, erho + z, ez em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço pode ser representado por , onde é a distância radial, é o ângulo azimutal e é a altura.
O vetor posição então é dado por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções radial e axial, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z , que é . Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do divergente para um vetor geral é:
No nosso caso, , então , e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do divergente:
nabla cdot r = 1rho partial (rho cdot rho)partial rho + 1rho partial 0partial phi + partial zpartial z
Simplificando cada termo:
partial (rho cdot rho)partial rho = partial (rho^2)partial rho = 2rho
partial 0partial phi = 0
partial zpartial z = 1
Então:
nabla cdot r = 1rho cdot 2rho + 0 + 1 = 2 + 1 = 3

Passo 5

Agora vamos calcular o rotacional de nabla times A = ( 1rho [ partial Azpartial phi - partial (rho Aphi)partial z ] ) erho + ( partial Arhopartial z - partial Azpartial rho ) ephi + 1rho [ partial (rho Aphi)partial rho - partial Arhopartial phi ] ez , que é . A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um vetor é:
No nosso caso, novamente , e .

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
nabla times r = ( 1rho [ partial zpartial phi - partial (0)partial z ] ) erho + ( partial rhopartial z - partial zpartial rho ) ephi + 1rho [ partial (0)partial rho - partial rhopartial phi ] ez
Simplificando cada termo:
partial zpartial phi = 0, partial (0)partial z = 0
partial rhopartial z = 0, partial zpartial rho = 0
partial (0)partial rho = 0, partial rhopartial phi = 0
Então:
nabla times r = ( 1rho (0 - 0) ) erho + (0 - 0) ephi + 1rho (0 - 0) ez = 0

Resposta

nabla cdot r = 3 e nabla times r = 0

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