Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mos tre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que, usando coordenadas cilíndricas circulares, o divergente de é 3 e o rotacional de é 0. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente os operadores divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas desses operadores nessa coordenada e da expressão do vetor posição em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o vetor posição em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço pode ser representado por , onde é a distância radial, é o ângulo azimutal e é a altura.
O vetor posição então é dado por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções radial e axial, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de , que é . Em coordenadas cilíndricas, a fórmula do divergente para um vetor geral é:
No nosso caso, , então , e .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do divergente:
Simplificando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora vamos calcular o rotacional de , que é . A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um vetor é:
No nosso caso, novamente , e .

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando cada termo:
Então:

Resposta

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