Determine as equações dos planos normal, plano retificador e osculador da curva no ponto indicado: gamma(t) = (ln(t), 2t, t^2), (0, 2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações dos planos normal, retificador e osculador de uma curva no ponto dado. A curva que estamos analisando é , e o ponto de interesse é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores tangente, normal e binormal, além das equações dos planos associados a esses vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto . Vamos igualar cada componente:
Como (porque está definido), temos .

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor tangente avaliando em t = 1. A derivada de gamma(t) é:
Avaliando em t = 1:
Esse é o vetor tangente à curva no ponto dado.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal N, precisamos calcular a derivada do vetor tangente e normalizar. Primeiro, achamos :
Avaliando em t = 1:
Agora, o vetor normal é a derivada do vetor tangente dividido pelo seu comprimento:

Passo 5

O vetor binormal B é dado pelo produto vetorial entre o vetor tangente e o vetor normal N:
Calculando o produto vetorial:

Passo 6

Com os vetores , N e B definidos, podemos escrever as equações dos planos:
  • Plano Tangente (Retificador): Passa pelo ponto e é paralelo ao vetor tangente. A equação geral é:
Substituindo:
  • Plano Normal: É perpendicular ao vetor tangente e passa pelo ponto dado. A equação é:
Substituindo:
  • Plano Osculador: É gerado pelos vetores tangente e normal. Sua equação pode ser montada usando o produto vetorial:
Substituindo:

Resposta

As equações dos planos solicitados no ponto são:
  • Plano Retificador:
  • Plano Normal:
  • Plano Osculador:

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