Determine as equações dos planos normal, plano retificador e osculador da curva no ponto indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações dos planos normal, retificador e osculador de uma curva no ponto dado. A curva que estamos analisando é
, e o ponto de interesse é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores tangente, normal e binormal, além das equações dos planos associados a esses vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. Vamos igualar cada componente:
Como
(porque
está definido), temos
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor tangente
avaliando em
. A derivada de
é:
Avaliando em
:
Esse é o vetor tangente à curva no ponto dado.
Passo 4
Para encontrar o vetor normal
, precisamos calcular a derivada do vetor tangente e normalizar. Primeiro, achamos
:
Avaliando em
:
Agora, o vetor normal é a derivada do vetor tangente dividido pelo seu comprimento:
Passo 5
O vetor binormal
é dado pelo produto vetorial entre o vetor tangente
e o vetor normal
:
Calculando o produto vetorial:
Passo 6
Com os vetores
,
e
definidos, podemos escrever as equações dos planos:
- Plano Tangente (Retificador): Passa pelo ponto
e é paralelo ao vetor tangente. A equação geral é:
Substituindo:
- Plano Normal: É perpendicular ao vetor tangente e passa pelo ponto dado. A equação é:
Substituindo:
- Plano Osculador: É gerado pelos vetores tangente e normal. Sua equação pode ser montada usando o produto vetorial:
Substituindo:
Resposta
As equações dos planos solicitados no ponto
são:
- Plano Retificador:
- Plano Normal:
- Plano Osculador: