Definimos a velocidade instantânea em
da equação de espaço
como:
*Encontre a velocidade de uma partícula que se move de acordo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade instantânea! A gente tem a equação do movimento da partícula:
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante
. Para isso, vamos usar a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da velocidade instantânea:
Isso significa que a velocidade instantânea no tempo
é o limite da taxa de variação da posição quando o intervalo de tempo fica bem pequeno próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na definição:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 4
Vamos fatorar o 3 que está nos dois termos do numerador:
Isso facilita a conta porque agora temos uma expressão mais simples dentro do limite.
Passo 5
Para resolver esse limite, precisamos derivar a função
em relação a
. A derivada de
é
multiplicado pela derivada de
. No nosso caso,
, então
.
Então, a derivada de
é:
Passo 6
Voltando ao nosso limite, a expressão:
É exatamente a definição da derivada de
em
, que acabamos de calcular:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão da velocidade instantânea:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula no instante
é:
Exercícios relacionados
As curvas com equações
são chamadas, com
, curvas ponta de bala.
© faça um esboço (grosseiro) do gráfico.
© faça um esboço (grosseiro) do gráfico.
(…) A reta será NORMAL quando for perpendicular à reta tangente. Assim, sua equação é:
*Encontre-a no caso de
no ponto
.
Use este resultado para calcular
sabendo que, para todo
.
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 5)