Definimos a velocidade instantânea em da equação de espaço como:
*Encontre a velocidade de uma partícula que se move de acordo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade instantânea! A gente tem a equação do movimento da partícula: . Nosso objetivo é encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante . Para isso, vamos usar a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da velocidade instantânea:
Isso significa que a velocidade instantânea no tempo é o limite da taxa de variação da posição quando o intervalo de tempo fica bem pequeno próximo de .

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na definição:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Vamos fatorar o 3 que está nos dois termos do numerador:
Isso facilita a conta porque agora temos uma expressão mais simples dentro do limite.

Passo 5

Para resolver esse limite, precisamos derivar a função em relação a . A derivada de é multiplicado pela derivada de . No nosso caso, , então .
Então, a derivada de é:

Passo 6

Voltando ao nosso limite, a expressão:
É exatamente a definição da derivada de em , que acabamos de calcular:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da velocidade instantânea:

Resposta

A velocidade instantânea da partícula no instante é:

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As curvas com equações são chamadas, com , curvas ponta de bala.
© faça um esboço (grosseiro) do gráfico.
(…) A reta será NORMAL quando for perpendicular à reta tangente. Assim, sua equação é:
*Encontre-a no caso de no ponto .
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo .
*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 5)