Definimos a velocidade instantânea em t=a da equação de espaço x(t) como:
V inst (a)=lim t a x(t)-x(a)t-a
*Encontre a velocidade de uma partícula que se move de acordo com x(t)=3 cos (2 t+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade instantânea! A gente tem a equação do movimento da partícula: . Nosso objetivo é encontrar a velocidade instantânea dessa partícula no instante . Para isso, vamos usar a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da velocidade instantânea:
Vinst(a) = limt to a x(t) - x(a)t - a
Isso significa que a velocidade instantânea no tempo é o limite da taxa de variação da posição quando o intervalo de tempo fica bem pequeno próximo de .

Passo 3

Agora, vamos substituir a função Vinst(a) = limt to a 3 cos(2t + 1) - 3 cos(2a + 1)t - a na definição:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Vamos fatorar o 3 que está nos dois termos do numerador:
Vinst(a) = 3 limt to a cos(2t + 1) - cos(2a + 1)t - a
Isso facilita a conta porque agora temos uma expressão mais simples dentro do limite.

Passo 5

Para resolver esse limite, precisamos derivar a função ddt cos(2t + 1) = -2 sin(2t + 1) em relação a . A derivada de é multiplicado pela derivada de . No nosso caso, , então .
Então, a derivada de é:

Passo 6

Voltando ao nosso limite, a expressão:
limt to a cos(2t + 1) - cos(2a + 1)t - a
É exatamente a definição da derivada de -2 sin(2a + 1) em , que acabamos de calcular:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da velocidade instantânea:
Vinst(a) = 3 times (-2 sin(2a + 1)) = -6 sin(2a + 1)

Resposta

A velocidade instantânea da partícula no instante Vinst(a) = -6 sin(2a + 1) é:

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