*Para as questões a seguir, ache o limite, se ele existir: 5) lim x 5 1-raizx-4x^2-10 x+25

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite da função quando se aproxima de 5. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente trabalhando com limites e álgebra. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para descobrir o comportamento dela perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (x = 5\ diretamente na função para ver o que acontece:
1 - raiz5 - 45^2 - 10 times 5 + 25 = 1 - raiz125 - 50 + 25 = 1 - 10 = 00
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para simplificar.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é racionalizar o numerador. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é 1 - raizx - 4x^2 - 10x + 25 times 1 + raizx - 41 + raizx - 4 = (1 - raizx - 4)(1 + raizx - 4)(x^2 - 10x + 25)(1 + raizx - 4) :
(1 - raizx - 4)(1 + raizx - 4) = 1 - (x - 4) = 5 - x
No numerador, temos uma diferença de quadrados:
5 - x(x^2 - 10x + 25)(1 + raizx - 4)
Então, a expressão fica:

Passo 4

Observando o denominador 5 - x(x - 5)^2 (1 + raizx - 4) = -(x - 5)(x - 5)^2 (1 + raizx - 4) = -1(x - 5)(1 + raizx - 4) , percebemos que se pode fatorar como limx 5 -1(x - 5)(1 + raizx - 4) . Então, temos:
Agora, nosso limite fica:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando -1uma quantidade que se aproxima de 0 se aproxima de 5. O denominador está se aproximando de 0, e está se aproximando de . Então, a expressão geral se comporta como:
Dependendo de como se aproxima de 5 (pela direita ou pela esquerda), o denominador pode ser positivo ou negativo, fazendo com que o limite vá para ou , respectivamente.

Resposta

O limite não existe.

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