Use este resultado para calcular lim x infty g(x) sabendo que, para todo x>1,(x-1)^2<(x^2-1) g(x)<(x+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de quando tende ao infinito. Para isso, vamos usar desigualdades que envolvem e aplicar conceitos de limites e o teorema do sanduíche.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a desigualdade que foi dada:
(x - 1)^2 < (x^2 - 1)g(x) < (x + 1)^2
O que queremos é isolar para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos dividir tudo por , que é positivo para .

Passo 3

Dividindo a desigualdade por (x - 1)^2x^2 - 1 < g(x) < (x + 1)^2x^2 - 1 , temos:
Agora, nossa função está entre duas frações que vamos analisar separadamente.

Passo 4

Vamos calcular o limite das duas frações quando limx to infty (x - 1)^2x^2 - 1 = limx to infty x^2 - 2x + 1x^2 - 1 tende ao infinito.
Para a fração da esquerda:
limx to infty 1 - 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 - 0 + 01 - 0 = 1
Dividindo numerador e denominador por limx to infty (x + 1)^2x^2 - 1 = limx to infty x^2 + 2x + 1x^2 - 1 :
limx to infty 1 + 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 + 0 + 01 - 0 = 1
Para a fração da direita:
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Como os limites das duas frações são iguais a 1, pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), podemos concluir que:
limx to infty g(x) = 1

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 1.

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