Use este resultado para calcular
sabendo que, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar desigualdades que envolvem
e aplicar conceitos de limites e o teorema do sanduíche.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a desigualdade que foi dada:
O que queremos é isolar
para facilitar o cálculo do limite. Para isso, vamos dividir tudo por
, que é positivo para
.
Passo 3
Dividindo a desigualdade por
, temos:
Agora, nossa função
está entre duas frações que vamos analisar separadamente.
Passo 4
Vamos calcular o limite das duas frações quando
tende ao infinito.
Para a fração da esquerda:
Dividindo numerador e denominador por
:
Para a fração da direita:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Como os limites das duas frações são iguais a 1, pelo teorema do sanduíche (ou teorema do aperto), podemos concluir que:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 1.