Definindo o Comutador de duas matrizes como , e o Anticomutador como . Mostre que:
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comutadores e anticomutadores de matrizes. O enunciado nos pede para mostrar algumas propriedades desses operadores. Para isso, vamos precisar saber o que são comutadores e anticomutadores, e como manipulá-los usando as definições matemáticas. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que .
Primeiro, vamos relembrar a definição do comutador:
Agora, vamos calcular usando a mesma definição:
Observamos que é o oposto de . Portanto:

Passo 3

Parte (b): Mostrar que .
Vamos usar a definição do comutador e distribuir os termos:
Agora, vamos reescrever usando a propriedade distributiva:
Então:
Agora, adicionamos e subtraímos :
Que simplifica para:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que .
Primeiro, lembramos que o anticomutador é definido por:
Da parte (b), temos:
Agora, expressamos os comutadores em termos de anticomutadores:
Substituindo na expressão anterior:
Observamos que os termos e se cancelam:
Agora, reescrevemos usando anticomutadores:

Passo 5

Parte (d): Mostrar que .
Esta é conhecida como a identidade de Jacobi. Vamos expandir cada termo usando a definição do comutador.
Primeiro, calculemos :
Agora, :
E :
Agora, somamos todos os três resultados:
Observamos que cada termo tem um termo oposto que o cancela:
Tudo se anula, então:

Resposta

Mostramos todas as propriedades solicitadas:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .

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