Definindo o Comutador [A, B] de duas matrizes como [A, B]=A B-B A, e o Anticomutador A, B como A, B=A B+B A. Mostre que:
(a)
[A, B]=-[B, A]
(b)
[A B, C]=A[B, C]+[A, C] B
©
[A B, C]=AB, C-A, C B
(d)
[A,[B, C]]+[B,[C, A]]+[C,[A, B]]=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comutadores e anticomutadores de matrizes. O enunciado nos pede para mostrar algumas propriedades desses operadores. Para isso, vamos precisar saber o que são comutadores e anticomutadores, e como manipulá-los usando as definições matemáticas. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que [A, B] = A B - B A .
Primeiro, vamos relembrar a definição do comutador:
[B, A] = B A - A B
Agora, vamos calcular [A, B] = - (B A - A B) = -[B, A] usando a mesma definição:
Observamos que é o oposto de . Portanto:

Passo 3

Parte (b): Mostrar que [A B, C] = (A B) C - C (A B) .
Vamos usar a definição do comutador e distribuir os termos:
C (A B) = (C A) B = C A B
Agora, vamos reescrever [A B, C] = A B C - C A B usando a propriedade distributiva:
A B C - A C B + A C B - C A B = A (B C - C B) + (A C - C A) B
Então:
A [B, C] + [A, C] B
Agora, adicionamos e subtraímos :
Que simplifica para:

Passo 4

Parte ©: Mostrar que X, Y = X Y + Y X .
Primeiro, lembramos que o anticomutador é definido por:
[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B
Da parte (b), temos:
[B, C] = B C - C B
Agora, expressamos os comutadores em termos de anticomutadores:
[A, C] = A C - C A
[A B, C] = A (B C - C B) + (A C - C A) B = A B C - A C B + A C B - C A B
Substituindo na expressão anterior:
A B C - C A B
Observamos que os termos A B C - C A B = A (B C + C B) - (A C + C A) B = A B, C - A, C B e se cancelam:
Agora, reescrevemos usando anticomutadores:

Passo 5

Parte (d): Mostrar que [A, [B, C]] = A (B C - C B) - (B C - C B) A = A B C - A C B - B C A + C B A .
Esta é conhecida como a identidade de Jacobi. Vamos expandir cada termo usando a definição do comutador.
Primeiro, calculemos [B, [C, A]] = B (C A - A C) - (C A - A C) B = B C A - B A C - C A B + A C B :
[C, [A, B]] = C (A B - B A) - (A B - B A) C = C A B - C B A - A B C + B A C
Agora, (A B C - A C B - B C A + C B A) + (B C A - B A C - C A B + A C B) + (C A B - C B A - A B C + B A C) :
A B C cancela com -A B C
E - A C B cancela com + A C B :
- B C A cancela com + B C A
Agora, somamos todos os três resultados:
+ C B A cancela com - C B A
Observamos que cada termo tem um termo oposto que o cancela:
- B A C cancela com + B A C
- C A B cancela com + C A B
[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0
Tudo se anula, então:

Resposta

Mostramos todas as propriedades solicitadas:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .

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