Definindo o Comutador
de duas matrizes como
, e o Anticomutador
como
. Mostre que:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre comutadores e anticomutadores de matrizes. O enunciado nos pede para mostrar algumas propriedades desses operadores. Para isso, vamos precisar saber o que são comutadores e anticomutadores, e como manipulá-los usando as definições matemáticas. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
.
Primeiro, vamos relembrar a definição do comutador:
Agora, vamos calcular
usando a mesma definição:
Observamos que
é o oposto de
. Portanto:
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
.
Vamos usar a definição do comutador e distribuir os termos:
Agora, vamos reescrever
usando a propriedade distributiva:
Então:
Agora, adicionamos e subtraímos
:
Que simplifica para:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que
.
Primeiro, lembramos que o anticomutador é definido por:
Da parte (b), temos:
Agora, expressamos os comutadores em termos de anticomutadores:
Substituindo na expressão anterior:
Observamos que os termos
e
se cancelam:
Agora, reescrevemos usando anticomutadores:
Passo 5
Parte (d): Mostrar que
.
Esta é conhecida como a identidade de Jacobi. Vamos expandir cada termo usando a definição do comutador.
Primeiro, calculemos
:
Agora,
:
E
:
Agora, somamos todos os três resultados:
Observamos que cada termo tem um termo oposto que o cancela:
Tudo se anula, então:
Resposta
Mostramos todas as propriedades solicitadas:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)