Nos Exercícios seguintes, encontre o módulo e a direção do vetor dado.
$(g) (g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o módulo e a direção de um vetor dado. O vetor em questão é . Para resolver isso, a gente vai precisar usar fórmulas básicas de geometria para calcular a magnitude (módulo) e o ângulo (direção) que esse vetor forma com o eixo positivo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor. O módulo de um vetor |v| = raizx^2 + y^2 é dado pela fórmula:
Isso basicamente usa o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do vetor.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso vetor |v| = raiz2^2 + (-2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = raiz16 = 4 :
Então, o módulo do vetor é 4.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a direção do vetor, ou seja, o ângulo que ele forma com o eixo positivo theta = arctan(yx) . A fórmula para isso é:
Onde é o ângulo, é a componente vertical e é a componente horizontal do vetor.

Passo 5

Substituindo os valores do nosso vetor:
theta = arctan(-2raiz32) = arctan(-raiz3)
Sabemos que theta = -60^circ , então:
Isso significa que o vetor está 60 graus abaixo do eixo positivo (no quarto quadrante).

Resposta

O vetor tem um módulo igual a 4 e forma um ângulo de com o eixo positivo .

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