Sejam alpha=u1=(0,1,2), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1+u2-u3, v2=u1-u2-u3 e v3=u1-u2+u3.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, chamadas de alpha e beta, para o espaço tridimensional R^3. A base alpha é formada pelos vetores u1, u2 e u3, e a base beta é formada pelos vetores v1, v2 e v3, que são combinações lineares dos vetores de alpha. Nossa missão aqui é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas da base alpha para a base beta. Para isso, precisamos entender como os vetores de beta estão expressos em termos de alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter de alpha para beta. A fórmula geral para a matriz de mudança de base de alpha para beta é dada por:
Palpha beta = [, [v1]alpha [v2]alpha [v3]alpha ,]
Aqui, [vi]alpha representa as coordenadas do vetor vi na base alpha.

Passo 3

Sabendo disso, precisamos expressar cada vetor de beta ( v1, v2 e v3) como combinação dos vetores de alpha. No enunciado, já temos essas combinações:
v1 = u1 + u2 - u3
v2 = u1 - u2 - u3
v3 = u1 - u2 + u3
Isso significa que, para cada vi, os coeficientes que multiplicam cada uj são as coordenadas de vi na base alpha.

Passo 4

Vamos identificar esses coeficientes para cada vetor de beta:
  • Para v1: 1,u1 + 1,u2 -1,u3, então [v1]alpha = 1 1 -1
  • Para v2: 1,u1 -1,u2 -1,u3, então [v2]alpha = 1 -1 -1
  • Para v3: 1,u1 -1,u2 +1,u3, então [v3]alpha = 1 -1 1

Passo 5

Agora, basta organizar essas coordenadas em colunas para formar a matriz de mudança de base:
Palpha beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1
Essa matriz nos permite converter qualquer vetor representado na base alpha para a base beta.

Resposta

A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é:
Palpha beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1

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