Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases, chamadas de e , para o espaço tridimensional . A base é formada pelos vetores , e , e a base é formada pelos vetores , e , que são combinações lineares dos vetores de . Nossa missão aqui é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas da base para a base . Para isso, precisamos entender como os vetores de estão expressos em termos de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter de para . A fórmula geral para a matriz de mudança de base de para é dada por:
Aqui, representa as coordenadas do vetor na base .
Passo 3
Sabendo disso, precisamos expressar cada vetor de (, e ) como combinação dos vetores de . No enunciado, já temos essas combinações:
Isso significa que, para cada , os coeficientes que multiplicam cada são as coordenadas de na base .
Passo 4
Vamos identificar esses coeficientes para cada vetor de :
Para : , então
Para v2: 1,u1 -1,u2 -1,u3, então [v2]alpha = 1 -1 -1
Para v3: 1,u1 -1,u2 +1,u3, então [v3]alpha = 1 -1 1
Passo 5
Agora, basta organizar essas coordenadas em colunas para formar a matriz de mudança de base:
Palpha beta = 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1
Essa matriz nos permite converter qualquer vetor representado na base alpha para a base beta.
Resposta
A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é: