Definir divergência de uma função vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir divergência de uma função vetorial. Isso está no campo do Cálculo Vetorial, mais especificamente em Campos Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função vetorial e como calcular a divergência usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial é uma função que associa a cada ponto no espaço (como
) um vetor. Por exemplo,
, onde
,
e
são funções escalares das coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a divergência. A divergência é uma operação que pega essa função vetorial e retorna um valor escalar que nos diz como o campo está “expansivo” ou “compresso” em cada ponto. Pense nisso como uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico.
Passo 4
Para calcular a divergência de
, usamos as derivadas parciais das componentes
,
e
em relação às coordenadas
,
e
, respectivamente. A fórmula fica assim:
Passo 5
Vamos detalhar cada termo:
-
: a taxa de variação de em relação a . -
: a taxa de variação de em relação a . -
: a taxa de variação de em relação a .
Somando essas três derivadas, obtemos a divergência total do campo vetorial
.
Resposta
A divergência de uma função vetorial
é definida como
Isso mede a “expansão” ou “contração” do campo vetorial em cada ponto do espaço.