Definir divergência de uma função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definir divergência de uma função vetorial. Isso está no campo do Cálculo Vetorial, mais especificamente em Campos Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função vetorial e como calcular a divergência usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial é uma função que associa a cada ponto no espaço (como ) um vetor. Por exemplo, , onde , e são funções escalares das coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a divergência. A divergência é uma operação que pega essa função vetorial e retorna um valor escalar que nos diz como o campo está “expansivo” ou “compresso” em cada ponto. Pense nisso como uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto específico.

Passo 4

Para calcular a divergência de div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z , usamos as derivadas parciais das componentes , e em relação às coordenadas , e , respectivamente. A fórmula fica assim:

Passo 5

Vamos detalhar cada termo:
  • : a taxa de variação de em relação a .
  • : a taxa de variação de em relação a .
  • : a taxa de variação de em relação a .
Somando essas três derivadas, obtemos a divergência total do campo vetorial .

Resposta

A divergência de uma função vetorial div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z é definida como
Isso mede a “expansão” ou “contração” do campo vetorial em cada ponto do espaço.

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