Uma reta r é paralela à reta s: cx=-3 t y=-2+t z=1+2 t e passa pelo ponto A(1,0,-2).
Encontre o ângulo entre as retas r e u: cx=2-t y=-2+3 t z=-1+t

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas retas no espaço tridimensional. A reta r é paralela à reta s, que é dada pelas equações paramétricas:
c x = -3t y = -2 + t z = 1 + 2t
Além disso, a reta r passa pelo ponto A(1,0,-2). Também temos outra reta u, definida pelas equações paramétricas:
c x = 2 - t y = -2 + 3t z = -1 + t
Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre as retas r e u. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e produto escalar.

Passo 2

Encontrando o vetor diretor da reta s:
A reta s é dada por:
c x = -3t y = -2 + t z = 1 + 2t
O vetor diretor da reta s é obtido pelos coeficientes de t nas equações:
vs = (-3, 1, 2)
Como a reta r é paralela à reta s, ela compartilha o mesmo vetor diretor:
vr = (-3, 1, 2)

Passo 3

Encontrando o vetor diretor da reta u:
A reta u é definida por:
c x = 2 - t y = -2 + 3t z = -1 + t
O vetor diretor da reta u é:
vu = (-1, 3, 1)

Passo 4

Fórmula para o ângulo entre dois vetores:
Para encontrar o ângulo theta entre as retas r e u, utilizamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = vr cdot vu | vr | cdot | vu |
Onde:
  • vr cdot vu é o produto escalar dos vetores diretores.
  • | vr | e | vu | são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Calculando o produto escalar vr cdot vu:
vr cdot vu = (-3)(-1) + (1)(3) + (2)(1) = 3 + 3 + 2 = 8

Passo 6

Calculando as normas dos vetores diretores:
  • Norma de vr:
| vr | = raiz(-3)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14
  • Norma de vu:
| vu | = raiz(-1)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11

Passo 7

Calculando o ângulo theta:
cos(theta) = 8raiz14 cdot raiz11 = 8raiz154 approx 812,4097 approx 0,6445
Agora, aplicando a função arco-cosseno para encontrar o ângulo:
theta = arccos(0,6445) approx 50°

Resposta

O ângulo entre as retas r e u é aproximadamente 50^circ.

Exercícios relacionados