Demonstre que a lei de Hooke pode ser escrita conforme equações abaixo. Considere o caso do estado plano de tensões. (2,0 pontos)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que a lei de Hooke pode ser escrita conforme as equações fornecidas, considerando o estado plano de tensões. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de tensão (
), deformação (
), módulo de Young (
) e coeficiente de Poisson (
). A lei de Hooke relaciona tensão e deformação em materiais elásticos, e no estado plano de tensões, consideramos que uma das direções de tensão é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da lei de Hooke para um estado plano de tensões, que relaciona as tensões
e
com as deformações
e
. A lei de Hooke no estado plano de tensões é dada por:
Passo 3
Vamos entender cada termo dessas equações.
é o módulo de Young, que mede a rigidez do material.
é o coeficiente de Poisson, que caracteriza a deformação lateral em relação à deformação axial.
e
são as deformações nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
No estado plano de tensões, consideramos que a tensão na direção
é zero (
). Isso simplifica as equações da lei de Hooke, já que não há contribuição da deformação na direção
nas tensões
e
.
Passo 5
Agora, vamos derivar as equações fornecidas no enunciado a partir da forma geral da lei de Hooke no estado plano de tensões. Observando as equações dadas:
Perceba que
é a tensão na direção
, equivalente a
.
Passo 6
Comparando com a forma geral da lei de Hooke no estado plano de tensões, vemos que as equações fornecidas no enunciado são exatamente a aplicação dessa lei para as tensões
e
. Portanto, demonstramos que a lei de Hooke pode ser escrita conforme as equações dadas quando consideramos o estado plano de tensões.
Resposta
As equações fornecidas representam corretamente a lei de Hooke no estado plano de tensões, relacionando as tensões
e
com as deformações
e
através do módulo de Young
e do coeficiente de Poisson
.