Demonstre que a lei de Hooke pode ser escrita conforme equações abaixo. Considere o caso do estado plano de tensões. (2,0 pontos)
sigmadotx=E(1-v^2)(varepsilonx+v varepsilony) sigmay=E(1-nu^2)(varepsilony+v varepsilonx)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que a lei de Hooke pode ser escrita conforme as equações fornecidas, considerando o estado plano de tensões. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de tensão ( sigma), deformação ( varepsilon), módulo de Young ( E) e coeficiente de Poisson ( nu). A lei de Hooke relaciona tensão e deformação em materiais elásticos, e no estado plano de tensões, consideramos que uma das direções de tensão é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da lei de Hooke para um estado plano de tensões, que relaciona as tensões sigmax e sigmay com as deformações varepsilonx e varepsilony. A lei de Hooke no estado plano de tensões é dada por:
sigmax = E1 - nu^2 (varepsilonx + nu varepsilony)
sigmay = E1 - nu^2 (varepsilony + nu varepsilonx)

Passo 3

Vamos entender cada termo dessas equações. E é o módulo de Young, que mede a rigidez do material. nu é o coeficiente de Poisson, que caracteriza a deformação lateral em relação à deformação axial. varepsilonx e varepsilony são as deformações nas direções x e y, respectivamente.

Passo 4

No estado plano de tensões, consideramos que a tensão na direção z é zero ( sigmaz = 0). Isso simplifica as equações da lei de Hooke, já que não há contribuição da deformação na direção z nas tensões sigmax e sigmay.

Passo 5

Agora, vamos derivar as equações fornecidas no enunciado a partir da forma geral da lei de Hooke no estado plano de tensões. Observando as equações dadas:
sigmadotx=E(1-nu^2)(varepsilonx+nu varepsilony)
sigmay=E(1-nu^2)(varepsilony+nu varepsilonx)
Perceba que sigmadotx é a tensão na direção x, equivalente a sigmax.

Passo 6

Comparando com a forma geral da lei de Hooke no estado plano de tensões, vemos que as equações fornecidas no enunciado são exatamente a aplicação dessa lei para as tensões sigmax e sigmay. Portanto, demonstramos que a lei de Hooke pode ser escrita conforme as equações dadas quando consideramos o estado plano de tensões.

Resposta

As equações fornecidas representam corretamente a lei de Hooke no estado plano de tensões, relacionando as tensões sigmax e sigmay com as deformações varepsilonx e varepsilony através do módulo de Young E e do coeficiente de Poisson nu.

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