Deixa-se cai, a partir do repouso, cinco esferinhas intercaladas por intervalos de tempos iguais, desde o topo de um edifício de altura . Quando a primeira esferinha atinge o solo, a quinta está iniciando a sua queda e, nesse instante, a distancia entre a segunda e a terceira vale 5 m . Determine o valor da altura .
Resposta:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos cinco esferinhas que começam a cair do repouso de um edifício com altura . Elas são lançadas em intervalos de tempo iguais. Quando a primeira esferinha atinge o chão, a quinta está apenas começando a cair, e a distância entre a segunda e a terceira esferinha nesse momento é de 5 metros. Queremos descobrir qual é a altura do edifício.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado, já que as esferinhas estão caindo sob a influência da gravidade. Vamos considerar a aceleração da gravidade como .
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o tempo que a primeira esferinha leva para cair do topo até o chão. Como ela parte do repouso, podemos usar a seguinte equação do movimento:
Aqui, é o tempo de queda da primeira esferinha.
Passo 3
Agora, sabemos que as cinco esferinhas são lançadas em intervalos de tempo iguais. Vamos chamar esse intervalo de . Então, o quinto lançamento ocorre no tempo após a primeira esferinha ter sido solta.
Quando a primeira esferinha atinge o chão, o quinto lançamento está começando, ou seja, o tempo total até a primeira esferinha atingir o chão é igual a . Portanto, temos:
Passo 4
Vamos agora analisar a posição da segunda e da terceira esferinha quando a primeira atinge o chão. A segunda esferinha foi lançada depois da primeira, então ela já está caindo há .
A posição da segunda esferinha nesse momento é dada por:
Da mesma forma, a terceira esferinha foi lançada depois da primeira, então ela está caindo há .
A posição da terceira esferinha é:
Passo 5
A distância entre a segunda e a terceira esferinha é de 5 metros, então:
Substituindo as expressões de e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos fatorar e resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo:
Então:
Passo 7
Agora, lembrando que , podemos substituir na equação de :