Deixa-se cair de uma grande altura um corpo cuja massa é 3,6 quilogramas, sem velocidade inicial. Na queda, o corpo experimenta uma força devido à resistência do ar proporcional à sua velocidade. Considerando que a velocidade limite do corpo é de 1,20
metros por segundo, determine uma expressão para a velocidade do corpo num instante t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o movimento de um corpo em queda. A gente tem um objeto de 3,6 kg que é soltado do alto, sem velocidade inicial. Enquanto ele cai, a resistência do ar atua proporcionalmente à velocidade. Sabemos também que a velocidade limite desse corpo é de 1,20 m/s. O que a gente precisa descobrir é uma expressão que nos diga qual é a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que , onde é a força resultante, é a massa e é a aceleração. No caso desse corpo em queda, as forças que atuam são a força da gravidade para baixo e a força de resistência do ar para cima. A força da gravidade é dada por , onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

A força de resistência do ar é proporcional à velocidade, ou seja, , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade do corpo. A direção dessa força é oposta à direção do movimento, então ela é negativa em relação à força da gravidade. Assim, a força resultante fica:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo , temos:

Passo 4

Podemos reescrever essa equação diferencial da seguinte forma:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado direito é:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos determinar a constante usando a condição inicial. Sabemos que no instante , a velocidade inicial . Substituindo na equação:
Então:
Substituindo de volta na equação da velocidade:

Passo 7

Sabemos que a velocidade limite é quando o corpo para de acelerar, ou seja, quando tende ao infinito. Nesse caso:
Dado que , podemos usar isso para expressar a velocidade em função do tempo:

Resposta

A expressão para a velocidade do corpo em função do tempo é:
Onde é a constante de proporcionalidade da resistência do ar.

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