Deixa-se cair de uma grande altura um corpo cuja massa é 3,6 quilogramas, sem velocidade inicial. Na queda, o corpo experimenta uma força devido à resistência do ar proporcional à sua velocidade. Considerando que a velocidade limite do corpo é de 1,20
metros por segundo, determine uma expressão para a velocidade do corpo num instante
.
metros por segundo, determine uma expressão para a velocidade do corpo num instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o movimento de um corpo em queda. A gente tem um objeto de 3,6 kg que é soltado do alto, sem velocidade inicial. Enquanto ele cai, a resistência do ar atua proporcionalmente à velocidade. Sabemos também que a velocidade limite desse corpo é de 1,20 m/s. O que a gente precisa descobrir é uma expressão que nos diga qual é a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a força resultante,
é a massa e
é a aceleração. No caso desse corpo em queda, as forças que atuam são a força da gravidade
para baixo e a força de resistência do ar
para cima. A força da gravidade é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 3
A força de resistência do ar é proporcional à velocidade, ou seja,
, onde
é a constante de proporcionalidade e
é a velocidade do corpo. A direção dessa força é oposta à direção do movimento, então ela é negativa em relação à força da gravidade. Assim, a força resultante fica:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo
, temos:
Passo 4
Podemos reescrever essa equação diferencial da seguinte forma:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado direito é:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial. Sabemos que no instante
, a velocidade inicial
. Substituindo na equação:
Então:
Substituindo de volta na equação da velocidade:
Passo 7
Sabemos que a velocidade limite
é quando o corpo para de acelerar, ou seja, quando
tende ao infinito. Nesse caso:
Dado que
, podemos usar isso para expressar a velocidade em função do tempo:
Resposta
A expressão para a velocidade do corpo em função do tempo
é:
Onde
é a constante de proporcionalidade da resistência do ar.