integral cos (ln theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integração envolvendo funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos chamar . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dtheta = e^t , dt em termos de . Derivando em relação a , temos:
Então, podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo integral cos (ln theta) , dtheta = integral cos(t) cdot e^t , dt e na integral original, ficamos com:
Agora, temos uma nova integral que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , usaremos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
du = e^t , dt e v = sin(t)
Vamos escolher integral e^t cos(t) , dt = e^t sin(t) - integral e^t sin(t) , dt e . Então, derivando e integrando respectivamente, temos:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver usando integração por partes novamente.

Passo 6

Repetindo a integração por partes para du = e^t , dt e v = -cos(t) , escolhemos integral e^t sin(t) , dt = -e^t cos(t) + integral e^t cos(t) , dt e integral e^t cos(t) , dt = e^t sin(t) - ( -e^t cos(t) + integral e^t cos(t) , dt ) . Então:
integral e^t cos(t) , dt = e^t sin(t) + e^t cos(t) - integral e^t cos(t) , dt
Aplicando a fórmula:
2 integral e^t cos(t) , dt = e^t (sin(t) + cos(t))
Agora, substituímos de volta na equação anterior:
integral e^t cos(t) , dt = e^t (sin(t) + cos(t))2 + C
Simplificando:
Somando dos dois lados:
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à nossa substituição original integral cos (ln theta) , dtheta = e^ln theta (sin(ln theta) + cos(ln theta))2 + C . Substituindo integral cos (ln theta) , dtheta = theta (sin(ln theta) + cos(ln theta))2 + C de volta:
Sabemos que , então:

Resposta

integral cos (ln theta) , dtheta = theta [ sin(ln theta) + cos(ln theta) ]2 + C

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